Logický úkol - Pan král

Taky jsem příklad řešil, podobně jako @lopezz. Není problém to spočítat. Je problém to spočítat prostředky dostupnými v páté třídě základní školy. Poněvadž o soustavách rovnic, předpokladech nebo odvozování vědí páťáci, obzvlášť dnes, prdlajs.

Žáček musí přijít na to, že

1 . kola jsou dvě

2. jak se mění počet vyplacených dukátů v rámci jednoho kola mezi jednotlivými bratry (pro 2, 3, 4 bratry)

3. jaký je rozdíl u jednoho bratra mezi oběma koly

No a pak si může zkusmo zkusit dosadit.

Pro dva sourozence vychází u nejstaršího 2+4 dukáty, to je zatraceně málo (součet má dát 21)

Pro ověření ještě může provést průzkum pro větší počet sourozenců, ale už teď ví,

že částky pro obě kola se u prvního syna dělí v poměru 2:1, tedy 2/3 v prvním kole a 1/3 v kole druhém.

Pokud tedy známý součet je 21, třetina je 7, dvě třetiny je 14. Ve světle výše uvedených zkušeností to odpovídá počtu 7 synů. Sečíst čísla 1 - 14 na závěr, by zvládlo i mladší dítě než páťák.

Ale dalo to fušku .

Možná bych na to šel odzadu a pozpátku.

Ve 2. kole (kola byla 2, to je v zadání) dostali synové od nejmladšího po nejstaršího vždy o dukát víc, začlo se 1 dukátem u nejmladšího syna. Nejstarší tedy dostal tolik dukátů, jako je synů. V 1. kole dostal každý syn stejně, jako ve druhém kole, ale PLUS tolik dukátů, kolik je synů. Nejstarší tedy dostal v 1. kole "počet synů + počet synů" dukátů, celkem za obě kola má tedy 3*(počet synů) dukátů. A když dostal dukátů 21, tak počet synů je 7. No a pak jen všechny dukáty (1..14) posčítat, buď postupně 1+2+...+14, nebo podle použité logiky posčítat 1+2+..+7, to vzít 2x a přidat 7*7.

Král měl 7 synů, nejstaršímu dal v prvním kole 14 dukátů...

Ze zadání vyplývá, že byly dvě kola rozdávání dukátů.

n ... počet synů

p... počet dukátů, které dal král nejstaršímu synovi v prvním kole

V prvním kole král synům rozdal následující posloupnost počtu důkátů

p, p-1, p- 2, ... p-n+1

Ve druhém kole král synům rozdal následující posloupnost počtu dukátů

p-n, p-n-1, p -n -2, p - 2n +1

počet dukátů, které dostal nejstaší syn je součet p + p - n

počet dukátů, které dostal nejmladší syn ve druhém kole je p - 2n +1

Je zadáno, že na nejmladšího syna vyšel 1 dukát ve druhém kole, a nejstarší syn dostal celkem 21 dukátů.

p + p - n = 21

p - 2n +1 = 1

Vznikla soustava dvou rovnic o dvou neznámých

2 p = 21 + n

p = 2n

tedy 4n = 21 + n

3n = 21

n = 7

Král měl 7 synů

p = 14

Nejstaršímu synovi dal v prvním kole 14 dukátů

Celkem král rozdal tento počet dukátů

14 + 13 + 12 + 11 +10 +9 +8 + 7 +6 +5 + 4 + 3 + 2 +1

je to aritmetická posloupnost, kde d = 1 , a1 = 1 , an = 14, n = 14

n/2 krát (a1 + an) = 7 krát 15 = 105

Celkem král rozdal 105 dukátů

Podobný úkol pro 6.ročník: S manželem se navíc přeme o znění zadaného textu - zda se u posledního pážete otočil a dal mu v novém kole znovu, nebo se u posledního otočil a okamžitě přešel k předposlednímu pážeti aniž by tomu poslednímu znovu dal :

Jednou si král zavolal všechna svá pážata a postavil je do řady. Prvnímu pážeti dalurčitý počet dukátů, druhému dal o dva dukáty méně, třetímu opět o dva dukáty méně a takdále. Když došel k poslednímu pážeti, dal mu příslušný počet dukátů, otočil se a obdobnýmzpůsobem postupoval na začátek řady (tj. předposlednímu pážeti dal o dva dukáty méněnež před chvílí poslednímu atd.). Na první páže v tomto kole vyšly dva dukáty. Poté jednoz pážat zjistilo, že má 32 dukátů. Kolik měl král pážat, kolik jim rozdal? Uveďte všechny možnosti.Díky za každou radu