Absolutní hodnota

To neni tak jednoduche.

Respektive jednoduche to je, ale neni to jednoduche vysvetlit.

Nejlepe asi na prikladu.

Tak treba |5-x|+3*|x+1|=5

1) Je si treba uvedomit, ze absolutni hodnota nam udava vzdalenost hodnoty od nuly. Tedy vzdy je to kladne cislo (zaporne velika vzdalenost neexistuje).

-

Vyvstava tu tedy otazka: Je vyraz v absolutni hodnote ve skutecnosti kladny a nebo zaporny? To z pocatku nevime a proto je potreba pocitat s obemi moznostmi.

2) Musime si stanovit hodnoty, tzv. nulove body, pri kterych se vyrazy uvnitr absolutnich hodnot meni ze zapornych na kladne a naopak. Tyto hodnoty nam pak vymezi jednotlive intervaly. Kolik intervalu, tolik bude i rovnic, se kterymi budeme dale pocitat.

Nulove hodnoty se ziskaji jednoduse tak, ze vyrazy v absolutnich hodnotach polozime rovny nule.

-

Takze v nasem pripade:

Prvni nulovy bod z prvni absolutni hodnoty: 5-x=0

...x=5. Tedy prvni ziskany nulovy bod je 5.

-

Druhy nulovy bod z druhe absolutni hodnoty: x+1=0

...x=-1. Tedy druhy nulovy bod je -1.

-

Dva ziskane nulove body nam rozdeli ciselnou radu realnych cisel na tri intervaly.

Prvni interval od minus nekonecna do -1.

Druhy interval od -1 do 5.

Treti interval od 5 do plus nekonecna.

-

3) Nyni je potreba zjistit, ve kterem intervalu nabyvaji vyrazy uvnitr absolutnich hodnot zapornych a ve kterem kladnych hodnot.

Vybereme LIBOVOLNE cislo z daneho intervalu a dosadime ho do vyrazu absolutnich hodnot.

-

V nasem pripade:

Z prvniho intervalu volim napriklad cislo -11.

Dosadim do 1. vyrazu 5-x

5-(-11)=+16...Vyraz nabyva kladnych hodnot (+).

-

Dosadim do 2. vyrazu x+1

-11+1=-10...Vyraz nabyva zapornych hodnot (-).

-

Z druheho intervalu volim napriklad cislo 0.

Dosadim do 1. vyrazu 5-x

5-0=+5...Vyraz nabyva kladnych hodnot (+).

-

Dosadim do 2. vyrazu x+1

0+1=+1...Vyraz nabyva kladnych hodnot (+).

-

Ze tretiho intervalu volim napriklad cislo +1251.

Dosadim do 1. vyrazu 5-x

5-(1251)=-1246...Vyraz nabyva zapornych hodnot (-).

-

Dosadim do 2. vyrazu x+1

1251+1=+1252...Vyraz nabyva kladnych hodnot (+).

-

4) Nyni vytvorime tri rovnice (jednu pro kazdy interval) z nasi puvodni rovnice. Misto absolutnich hodnot umistime obycejne zavorky, pricemz budeme ctit znamenka, jaka jsme dostali v predchozim kroku. Obsahneme vlastne vsechny moznosti a kombinace, jakych muze rovnice diky absolutnim hodnotam nabyvat.

-

Tedy pro prvni interval: prvni vyraz (+), druhy vyraz (-)... pred druhou zavorku musime umistit znamenko minus.

(5-x)-3*(x+1)=5

-

Pro druhy interval: prvni vyraz (+), druhy vyraz (+)... rovnice zustane bezezmeny.

(5-x)+3*(x+1)=5

-

Pro treti interval: prvni vyraz (-), druhy vyraz (+)... pred prvni zavorku musime umistit znamenko minus.

-(5-x)+3*(x+1)=5

-

5) Nyni rovnice vyresime.

Tedy:

Rovnice prvniho intervalu:

(5-x)-3*(x+1)=5...x=-3/4...vysledek NELEZI v prvnim intervalu...nejedna se o vysledek puvodni rovnice.

-

Rovnice druheho intervalu:

(5-x)+3*(x+1)=5...x=-3/2...vysledek NELEZI v druhem intervalu...nejedna se o vysledek puvodni rovnice.

-

Rovnice tretiho intervalu:

-(5-x)+3*(x+1)=5...x=7/4...vysledek NELEZI v tretim intervalu...nejedna se o vysledek puvodni rovnice.

-

Nedostali sme ani jeden vysledek, tato linearni rovnice NEMA reseni (sem vymyslel pekne blbej priklad).

-

U jine rovnice, kde nektery vysledek bude lezet v danem intervalu, se jedna o vysledek rovnice. Pokud bude existovat pro jednotlive intervaly vice platnych vysledku, vysledkem rovnice je pak mnozina obsahujici vsechny tyto vysledky.

Uff. Nerovnice jindy.

Axus to na příkladu vysvětlil velice dobře, zkusím to ještě popsat obecněji (sleduj přitom axusův příklad, bez toho je to k pochopení značně obtížnější).
V lineární rovnici-nerovnici s absolutními hodnotami se vyskytují výrazy typu |A|, kde A = ax + b je lineární výraz: a,b jsou parametry, tedy konstanty, ať už číslené (třeba 3x-7 - zde b = -7), nebo obecné, a x je neznámá. (V principu by neznámých mohlo být i více, ale to bychom si pro začátek zbytečně komplikovali.) Takový výraz tam může být jeden nebo, jako u axuse, i více. Nejprve, jak řečeno, se musíme zabývat otázkou, zda A je (jsou) kladné (lépe: nezáporné), nebo záporné. To znamená, že k zadané rovnici (nebo nerovnici) přidáme ještě nerovnici A<0 , nebo A>=0 a tak dostaneme dva systémy k řešení (to pokud absolutní hodnota je jedna; jsou-li dvě, třeba |A|, |B|, dostaneme čtyři systémy, atd. ). Přidáme-li A<0, nahradíme výraz |A| výrazem -A a řešíme, přidáme-li A>=0. nahradíme ho výrazem A (vynecháme absolutní hodnotu) a řešíme, celkové řešení bude sjednocením těch dvou množin řešení. Pro více výrazů samozřejmě postupujeme stejně, jenže systémů k řešení bude více. (Tomu začátku, tedy tomu přidání dodatečných nerovností a nahrazení výrazů, říkáme odstranění absolutních hodnot.) To, co předvátí axus, je jeden způsob řešení těch přidaných nerovností, má tu výhodu, že vlastně zmenšujeme na minimum počet vzniklých systémů. protože některé přidané nerovnosti se vylučují. U axuse například, je-li x+1 záporné čili x<-1, nemůže už být 5-x záporné čili x>5, takže nedostaneme čtyři systémy, ale jen tři podle počtu těch vzniklých intervalů. (A technicky vzato, neřešíme systém rovnice + přidaná nerovnice, ale řešíme upravenou rovnici (s odstraněnou absolutní hodnotou) a pak ověříme, která z nalezených řešení vyhovují té přidané nerovnici, na jejímž základě jsme v původní rovnici či nerovnici odstranili absolutní hodnotu.

Možná bys mohl něco zkusit vyřešit sám a případně to sem i hodit ke kontrole.

no nevím...v které třídě seš?