Jak vypočítat tyto příklady?

1. Zde použij vzorce pro logaritmus součinu:

ln x +ln y = ln (x*y)= ln 12, tedy x*y = 12. což spolu s první rovnicí x+y = 7 snadno vyřešíš, například tak, že z první rovnice vypočteš např. x, dosadíš do druhé a řešíš kvadratickou rovnici. Ale u rovnic tohoto typu lze použít i trik, kdy první rovnici umocníš na druhou, odečteš čtyřnásobek druhé a tím dostaneš výraz pro čtverec rozdílu; asi takto:

(x+y)² = x² + 2xy + y² = 49

tedy

x² + 2xy + y² = 49

4xy = 48

od první rovnice odečtu druhou:

x² - 2xy + y² = 1

a podle binomické věty dostaneš

x² - 2xy + y² = (x-y)² = 1

x-y = ± 1

což s první rovnicí dává soustavu dvou lineárních rovnic (tedy přesněji dvě soustavy) o dvou neznámých, které snadno vyřešíš třeba tak, že je sečteš (pro pravou stranu druhé rovnice rovnu +1 vyjde x = 4) a odečteš (vyjde y = 3), (V tom druhém případě, s -1 na pravé straně, vyjdou tyto hodnoty zaměněny.)

2. Tento příkald je nerovnice. Pokud dobře chápu, jde na obou stranách o mocninu x, jednou s exponentem (-2x-12), druhá má v exponentu (5x-30). Mocniny jsou monotonní, takže nerovnice se přenáší na nerovnici v exponentech Jen musíš dát pozor: pro x > 1 se smysl nerovnosti nemění, takže řešíš nerovnici . (-2x-12)< (5x-30), odkud řešením je interval x > 17/8 (>1). Pro x < 1 se ale nerovnost obrací (mocnina se základem menším než 1 (ale kladným) je klesající, což dá ještě řešení

0<1

Úplné řešení je pak, jako obvykle, sjednocení obou intervalů.

3. Zase použiji pravidla pro počítání s logaritmy, ovšem na pravé straně bude ln t^4 (t na čtvrtou), takže po odlogaritmování dostaneš bikvadratickou rovnici. Naštěstí v ní vystupují jen sudé mocniny t, takže položíš t² = y, dostaneš kvadratickou rovnici pro y, která má dvojný kořen y = 4, takže t = ±2. To ovšem není správné řešení původní rovnice, řešení t = -2 musíš škrtnout (proč?)

4. Jen stručně: log je monotonní, takže stačí řešit příslušnou nerovnici pro argumenty logaritmu; jen musíš ještě dbát na splnění nutné podmínky, že argument logaritmu musí být kladný. Zkus to sama, když to nepůjde, poradím více.

Myslím, že na jednu odpověď je toho až dost, další později. Jen prosím o vysvětlení, jakou roli zde hraje symbol ¶.

:DKdyž nebudeš mít postup, tak jak pak další zvládneš?

Takže pokračujeme:

Příklad 5. To je zase příklad na pravidla o počítání s logaritmy. tedy

log(y*(odmocnina z x)/100)¯² = -2(log y + ½ log x - log 100 )

a protože jde (zřejmě) o dekadický Briggsův logaritmus, po dosazení dostaneme

log(y*(odmocnina z x)/100)¯² = 8 - log x = 8 - log 0,31

tohle už bych nechal tak, pokud chci číselnou hodnotu (která ovšem bude jen přibližná), musel bych ten log 0,31 najít v tabulkách nebo na vědecké kalkulačce; to už nechám na tobě.

Příklad 6: Je zadání dobře? není tam třeba překlep a nemá tam být log(1/(2-5x))? A co je přesně povýšeno na dvacátou čtvrtou? Ten logaritmus nebo jeho argument? Jako rozumné zadání mi přijde

5*(log(2-5x))²+log(1/(2-5x)^24) -5=0

což by vedlo na kvadratickou rovnici pro log (2-5x). Přiznám se, že se zadáním, tak jak ho tu vidím, bych něco rozumného udělat neuměl.

Př. 7: Tady vlastně nevím, co je úkolem. Upravit ten výraz? Nebo tam někde vypadlo rovnítko? A co je to to g ve druhém členu?

Pokud to ¶ znamená Ludolfovo číslo, tak první, co bych udělal, je to, že bych využil periodicity goniometrickýxh funkcí a například u členu -tg(47¶-x), kde tg má periodu pí, bych napsal -tg(47¶-x) = tg(x). Dál ovšem bych věděl až podle toho, co je úkolem a co je g (není to jen zdvojení u názvu kotangenty?).

Abych jen neplkal, předvedu, jak řešit 6, pokud by zadání bylo
5*(log(2-5x))²+log[(1/(2-5x))^24] -5=0.
Podle pravidel o počítání s logaritmy upravím log[(1/(2_5x))^24] = _24 log(2_5x), položím log(2_5x) = y a řeším rovnici
5 y² _ 24 y _5 = 0: D= 24² + 4*5*5 = 676, y1= (24+D^½)/2 = 25, y2=(24 _ D^½)/2 = _1
dostávám dvě řešení: 1. log(2_5x)=25, 2_5x = 10^25, x = (2-10^25)/5
2. log(2_5x) = -1, 2_5x = 1/10, x = 9/50 (= 0,18).
V případě, že by ta rovnice byla
5*(log(2-5x))²+[log(1/(2-5x))]^24 -5=0.
tak by to šlo řešit jen složitěji a spíše teoreticky. Ze základní věty algebry plyne, že takováto rovnice (po substituci log(2_5x) = y) by měla celkem 24 komplexních kořenů. počítaje s násobností. Ovšem teoreticky je známo, že tuto rovnici nelze obecně řešit v odmocninách ; vzorec existuje nejvýše pro rovnici čtvrtého řádu a pak pro nějaké speciální typy, ale žádný, který znám, by se zde nehodil. Navíc, potřebujeme najít reálné kořeny, jinak bychom se octli v oblasti teorie funkcí komplexní proměnné a to není zrovna peříčko. Nicméně pomocí rozboru monotonie levé strany (kterou zjistíme derivováním) zjistíme, že rovnice má právě dva reálné kořeny, které lze ovšem najít jen přibližne metodami numerické matematiky, například metodou regule falsi nebo (zde svýhodou) Newtonovou metodou. Tedy řešení to má, můžeme o něm ledaco zjistit, ale nezdá se mi, že by to bylo to, co jste měli řešit.
Co se týče posledního příkladu, první a poslední člen upravíme snadno:
-tg(47¶-x)+cotg g (x-¶/2)-sin(-4¶/3) = tg(x)+cotg g (x-¶/2)-sin(2¶/3) = -tg(47¶-x)+cotg g (x-¶/2) -(3^½)/2.

ten člen s kotangentou ovšem nevím; pokud by to g byla prostě obecná reálná konstanta tak by to nějak zjednodušit nešlo; pokud by to bylo celé číslo, záleželo by na tom, zda je sudé nebo liché a podle toho bychom využili periodicitu; na závěr bycom mohli ještě aplikovat součtové vzorce, ale pro velká g by to byla spíš komplikace než zjednodušení.