Slovní úlohy

Vypadá to, že jste brali řešení rovnic o dvou neznámých. Pokud ano, tak v A) si označím x=počet lahví 0.5l a y=počet lahví 0.7l. No a sestavím si dvě rovnice z toho, co mám zadané. 1/ x+y=638 2/ x*0.5 + y*0.7=356.4 No a tyto dvě rovnice vyřeším. Třeba tak, že z první vyjádřím x a to dosadím do druhé.

A ty další příklady to je podobné

Nechápu, kdo vám dává v neděli odpoledne úkoly, ale ano, vím (jak to vypočítat).

Ale vážně:

předpokládám, že jste brali soustavu 2 rovnic o 2 neznámých, pak bych postupovala takto:

1) Pozorně si přečtu zadání úlohy, aby bylo jasné, co znám, a co mám vypočítat.

2) Zvolím si neznámé, např. x, y

3) Vyjádřím podmínky úlohy pomocí neznámé

4) Najdu výrazy, které se sobě mají rovnat (nápověda: celkový počet lahví se rovná?, 356,4 l moštu se rovná objemu moštu v malých lahvích plus objemu moštu ve velkých lahvích)

5) Vyřeším soustavu rovnic

6) Provedu kontrolu dosazením do textu úlohy

A) V továrně vyrobí denně 356,4 litrů jablečného moštu. Mošt se prodává v lahvi o objemu 0,5 l nebo 0,7 litru a je nutné naplnit 638 lahví. Kolik menších lahví musí výrobce použít, aby denní produkce byla využita beze zbytku?

Počet menších lahví si označ x, počet větších lahví y. Pak ze zadání plyne

I. 0,5x + 0,7y = 356,4

II. x + y = 638

První rovnici vynásob dvěma a odečti od ní druhou

x + 1,4y = 712,8

x + y = 638

0,4y = 74,8

y = 74,8 : 0,4 = 187 lahví

x + 187 = 637

x = 637 - 187 = 450 lahví

Menších lahví je tedy třeba naplnit 450.

B) Kovový odlitek byl složen ze stříbra a mědi. Kdybychom ho přetavili s 2,1 kg čistého stříbra, dostali bychom slitinu obsahující 50 % stříbra. Místo toho jsme odlitek přetavili s 4,3 kg čisté mědi, a tak výsledná slitina obsahovala jen 40 % stříbra. Urči hmotnost odlitku před přetavením.

Nechť odlitek na začátku obsahoval x kg stříbra a y kg mědi. Pokud přidáš 2,1 kg stříbra, bude tam (x+2,1) kg stříbra a y kg mědi. Stříbra bude 50%, tedy

I.x + 2,1 = 0,5 (x + 2,1 + y)

Pokud přidáš 4,3 kg mědi, bude tam x kg stříbra a (y + 4,3) kg mědi. A protože stříbra je teď 40%, tak platí

II. x = 0,4 (x + y + 4,3)

Po úpravě

I. 0,5x - 0,5y = -1,05 /.6

II. 0,6x - 0,4y = 1,72 /.5

I. 3x - 3y = -6,3

II. 3x - 2y = 8,6

Po odečtení -y = -14,9

y = 14,9 kg

a po dosazení x = 12,8 kg

Hmotnost odlitku před přetavením byla tedy x + y = 27,7 kg.

C) Kdyby se u obdélníkového pozemku zvětšila délka o 3 m a šířka zvětšila o 7 m, zvětšil by se obsah pozemku o 451 m². Kdyby se u původního pozemku zvětšila délka o 7 m a šířka zvětšila o 3 m, zvětšil by se obsah pozemku o 411 m². Vypočti obsah původního pozemku.

Nechť délka původního pozemku je x a šířka je y. Původní obsah je tedy xy. Pak ze zadání plyne

I. (x+3)(y+7) = xy + 451

II. (x+7)(y+3) = xy + 411

Roznásobíme

I. xy + 7x + 3y + 21 = xy + 451 ... a po úpravě

I. 7x + 3y = 430 /.3

II. xy + 3x + 7y + 21 = xy + 411 ... a po úpravě

II. 3x + 7y = 390 /.7

I. 21x + 9y = 1290

II. 21x + 49y = 2730

40y = 1440

y = 36

x = 46

A původní obsah pozemku je 36.46 = 1656 m².

D) Osobní auto projelo dálniční úsek stálou rychlostí. Při rychlosti o 32 km/h vyšší by mu jízda trvala o 9 minut méně, při rychlosti o 32 km/h nižší o 18 minut více. Vypočti délku dálničního úseku.

Nechť délka úseku v km je d, rychlost auta v km/h je v. Pak čas jízdy je t = d/v (v hodinách). 9 minut je 0,15 h, 18 minut je 0,3 h. Pak ze zadání plyne

I. d / (v + 32) = t - 0,15

II. d / (v - 32) = t + 0,3

Dosaď za t = d/v a máš

I. d / (v + 32) = d/v - 0,15 /.v (v+32)

II. d / (v - 32) = d/v + 0,3 /,v(v-32)

po vynásobení

I. dv = d(v+32) - 0,15v(v+32)

II. dv = d(v-32) + 0,3v(v-32)

tedy

I. dv = dv + 32d - 0,15v² - 4,8v

II. dv = dv - 32d + 0,3v² - 9,6v

a

I. 0 = 32d - 0,15v² - 4,8v

II. 0 = -32d + 0,3v² - 9,6v

Po sečtení obou rovnic

0 = 0,15v² - 14,4v

0 = v (0,15v - 14,4)

Kořen v = 0 můžeme zřejmě vyloučit (auto nemůže jet zápornou rychlostí), tedy

0,15v - 14,4 = 0

v = 14,4 / 0,15 = 96 km/h.

Auto tedy jelo touto rychlostí. V druhém případě jelo rychlostí 128 km/h a bylo o 0,15 h rychlejší..

Víme tedy, že

I. d / 96 = t

II. d / 128 = t - 0,15

Rovnice vydělíme

128/96 = t/(t-0,15)

4/3 (t-0,15) = t

4/3t - 1/5 = t

1/3t = 1/5 -> t = 3/5 h = 0,6h

d = v.t = 96 . 0,6 = 57,6 km

Dálniční úsek byl tedy dlouhý 57,6 km.