Slovní úloha

Úloha č. 1. je tzv. Didonina úloha. Po pravdě formulace, kterou úváníte, se mi moc nelíbí, protože tak, jak je uvedeno, znamená to, že jedna strana pozemku zůstane otrevřená, pokud tato strana není kompletně "oplocena plotem, což by ale znamenalo, žebych musel znát délku domu, což je zelkem blbost, pak yste snal i protilehlou stranu pozemku a nebylo by co počítat. No ale budiž, berme to tak, že ta strana prostě není oplocena, třeba tam mají pmísto pletiva živý plot. To zas není tak nerozumný předpoklAd, jen bych to rát viděl přeesněji uvedeno v zadání.

A teď k výpočtu: jeden návod uvádí výše rv. Jiná možnost je použít nerovnost mezi arirtmetickým a geobetrickým průměrem, která říká: Buďte u,v dvě kladná čísla, (věta platí i pro nezýporná čísla, ale je-li jedno z nich nulové, tvryení je celkem nezajímavé), a označme s =½(u+v) jejich aritmetický průměr a g jejich geometrický průměr (tegy g ≥0, g² = uv). Pak platí, že je vždy s ≥ g a rovnost nastává právě tehdy, když u = v.Jestliženytí strany pozemku označíte a, b, pak plocha pozemku je a*b. Jestliže a bude ta boční strana a b ta protilehlá domu, pak 2a + b = 120m je vlastně dvojnásobek aritmetického průměru čísel 2a a b a obsah pozemku je roven ab =½(2a*b) je polovina kvadrátu jejeich geometrického průměru. Dokážete na tyto údaje aplikovat výše zmíněnou nerovnost? Zkuste to, ať to neřeším celé já.

Pravděpodobně jste se učili derivace. Takže si zavedete jednu stranu jako neznámou. Druhou si vyjádříte pomocí ní. Dosadíte do vzorce pro obsah a derivujete. Derivaci položíte rovnu nule a dopočítáte neznámou.

Čistě laicky bez počítání: při stejném obvodu má největší plochu čtverec. Když tedy nebudeme počítat čtvrtou stranu, bude prostě fiktivní plot.

Když se má oplotit pozemek pouze ze tří stran, můžeme u čtverce říci, že 120 : 3 = 40 m, takže oplocená plocha S = 40 x 40 = 160 m² .

Po této úvaze si můžete pohrát s čísly, například necháte jednu stranu (a stejně tak i stranu domu stejnou) 20m, a na dvé podélné ještě zbyde 120-20=100m pletiva a protože jsou dvě, tak na jednu stranu vyjde 100 :2 = 50 m a tak plocha S bude = 50 x 20= 100 m² a to je méně. Můžete si hrát tak dlouho, až zjisíte, že největší plochu při stejném obvodu má opravdu čtverec. Doufám, že neblbnu, jsou to jenom náhlé úvahy.

Úloha 2. Spočtšte si, jak daleko je v čase t od křižovatky daleko auto A a jak daleko auto B. Pak si spočtěte v tomto čase vzdálenost obou aut a aplikujte na tuto funkci postup s derivací. (Poznámka: hledaná minimální vzdálenost nastane dříve než auto A mine křižovatku, protože od tohoto okamžiku už se auta od sebe určitě vzdalují.)