Dobrý den,
mohl byste mi, prosím, někdo poradit, s některou z následujících ůloh?
-Určete rovnici roviny g, která prochází přímkou p:x-y-3z+5=0, x+y+z-1=0 a je rovnoběžná s přímkou q: 2x+3=y=z-2
-určete vzájemnou polohu dvou přímek p:x=4, y=5+t, z=1+2t a q:x-y-z-4=0, x+y-3z=0
- Určete vzdálenost bodu M=(1,0,1) od přímky p, která je určena body A=(1,1,3) a B=(0,2,4)
Předem mockrát děkuji za pomoc
0x
a) -Určete rovnici roviny g, která prochází přímkou p:x-y-3z+5=0, x+y+z-1=0 a je rovnoběžná s přímkou q: 2x+3=y=z-2
Přímka p: Najdeme její směrový vektor. Nejprve najdeme dva body, které na přímce leží, tedy řeší soustavu rovnic
I. x - y - 3z + 5 = 0
II. x + y + z - 1 = 0
Jednu souřadnici si zvolíme libovolně, dvě dopočítáme. Například x = 0 a pak x = 1. Pro x = 0:
-y - 3z + 5 =0 -> -y - 3z = -5
y + z - 1 = 0 -> y + z = 1
tedy -2z = -4, z = 2, y + 2 - 1 = 0 -> y = -1
Pro x = 1:
1 - y - 3z + 5 = 0 -> -y - 3z = -6
1 + y + z - 1 = 0 -> y + z = 0
tedy -2z = -6, z = 3, y = -3
Přímka p tedy prochází body A [0;-1;2] a B [1;-3;3]. Její směrový vektor je tedy a = B - A = (1;-2;1)
Teď najdeme směrový vektor přímky q podobným postupem.
I. 2x + 3 = y
II. y = z - 2
Pro x = 0 : y = 3 -> z = 5
Pro x = 1: y = 5 -> z = 7
Přímka q tedy prochází body C [0;3;5], D [1;5;7] a její směrový vektor je b = D - C = (1;2;2)
Rovina v prostoru je určena například bodem roviny a dvěma směrovými vektory. Bod roviny je například bod A [0;-1;2], směrové vektory jsou pak vektor a, protože je to směrový vektor přímky procházející rovinou, a vektor b, protože je to vektor přímky s rovinou rovnoběžné.
Parametrické rovnice roviny tedy budou A + r.a + s.b, tedy
I. x = r + s
II. y = -1 - 2r + 2s
III. z = 2 + r + 2s
Nyní vyloučíme parametry r,s.
2.I. + II. : 2x + y = 4s - 1 / .3
II. + 2.III. : y + 2z = 3 + 6s / .(-2)
tedy 6x + 3y = 12s - 3
-2y - 4z = -6 - 12s
součet: 6x + y - 4z = - 9
6x + y - 4z + 9 = 0
To je tvoje hledaná obecná rovnice rovniny.
b) určete vzájemnou polohu dvou přímek p:x=4, y=5+t, z=1+2t a q:x-y-z-4=0, x+y-3z=0
Dosadíme z rovnic přímky p do rovnic přímky q, abychom zjistili, zda mají přímky společný bod:
p: x = 4, y = 5+t, z = 1+2t -> dosadíme do q:
q: x - y - z - 4 = 0, tedy 4 - 5 - t - 1 - 2t - 4 =0 -> -6 - 3t = 0 -> t = -2
x + y - 3z = 0, tedy 4 + 5 + t - 3 - 6t = 0, tedy 6 - 5t = 0 -> t = 5/6
Přímky tedy nemají společný bod, protože parametr vyšel různě.
Porovnáme směrové vektory přímek. Přímka p je zadaná parametricky, její směrový vektor je hned vidět a je roven
a = (0; 1; 2)
Přímka q - zjistíme stejně jako v postupu v prvním příkladě:
x = 0 -> I. -y - z - 4 = 0; y - 3z = 0, tedy -4z - 4 =0 -> z = -1 -> y = -3
x = 1 -> 1 - y - z - 4 = 0; 1 + y - 3z = 0, tedy 2 - 4z - 4 = 0 -> z = -1/2; y = -5/2
Přímka prochází tedy body A [0;-3;-1], B [1;-5/2;-1/2] a její směrový vektor je b = B - A = (1; 1/2; 1/2), což není násobek vektoru a.
Přímky jsou tedy mimoběžné.
- Určete vzdálenost bodu M=(1,0,1) od přímky p, která je určena body A=(1,1,3) a B=(0,2,4)
Přímka p má směrový vektor a = B - A = (-1; 1; 1) a její parametrické rovnice jsou tedy A + a.t, tedy
x = 1 - t
y = 1 + t
z = 3 + t
Vzdálenost bodu určeného parametrem t od bodu M je odmocnina z výrazu (1-t-1)2 + (1+t)2 + (3+t-1)2. Abychom našli minimální vzdálenost, stačí nalézt minimum druhé mocniny vzdálenosti, tedy odmocninu nemusíme zahrnovat.
Výraz je roven t2 + 1 + 2t + t2 + 4 + 4t + t2 = 3t2 + 6t + 5 - zde hledáme minimum
První derivace podle t: 6t + 6 = 0 -> t = -1
Po dosazení t = -1 dostáváme druhou mocninu vzdálenosti: d2 = 3 - 6 + 5 = 2
a tedy vzdálenost bodu M od přímky je rovna odmocnině ze 2.
Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.
Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.