Jak vyřešit rovnici?

Vždy záleží, jestli se to má řešit na základní, střední, vysoké škole, nebo až na právech v Plzni. Tak třeba si pro neznámé x a y napíšeš zadání

x + y = 3

x - y = 7

A tyto dvě rovnice sečteš a hned víš, kolik je 2x. A tedy i kolik je x. No a za x dosadíš třeba do prvního vztahu a dopočítáš y.

RV uvedl rychle a jednoduche reseni vhodne pro ZS a SS.

Resenim vhodnym pro vyssi stupne gymnazii a VS se vse krapet komplikuje:

System linearnich rovnic si zapiseme jako Ax=b, kde A je ctvercova regularni matice, x je sloupcova matice hledanych neznamych a b je sloupcova matice pravych stran.

Tedy (tecky jsou pro vetsi prehlednost matice, zdejsi editor je na prd):

1 ..1.. x1... 3

...*... =

1.. -1.. x2...7

Rozsirena matice A, do ktere sme pridali sloupec pravych stran pak je

1 1 3

1 -1 7

Hodnosti matice A i rozsirene matice A jsou stejne (2), tedy dle Frobeniovy vety ma soustava reseni.

K reseni muzeme pouzit bud Gaussovu eliminacni metodu (vhodna pro rucni reseni), nebo Cramerovo pravidlo (vhodne pro pocitacove algorytmovani, rozepisovat ho tu nebudu).

---

Pri eliminacni metody prvni radek nechame a od druheho radku odecteme prvni radek a vydelime ho -2. Pak od prvniho radku odecteme druhy radek.

Tim sme ziskali jednotkovou diagonalni matici:

1 0 5

0 1 -2

kde, sloupec pravych stran tvori hledane nezname hodnoty, ktere tvori usporadanou dvojici [5,-2].

---

A vyznam vyse spocitaneho?

Kazda linearni rovnice je rovnici primky v prostoru. Zde konkretne operujeme s dvourozmernym prostorem (hodnost matice je 2), tedy s primkami lezicimi v rovine. Vyresenim jejich vzajemne soustavy sme spocetli souradnice jejich pruseciku.

Z toho duvodu je take nutne spravne urceni hodnosti, abysme nezkouseli pocitat primky lezici paralelne vedle sebe, ktere zadny spolecny prusecik nemaji.