Poměr obsahů čtvrtkruhu a do něho vepsaného k

Netuším. Navrhni řešení, pak se o tom můžeme bavit.

Nebo si počkej na dominikabhp, ten ti to spočítá na počkání, umět budeš kulové, ale budeš mít výsledek

Tak pokud poloměr čtvrtkruhu označíme jako R a poloměr vepsaného kruhu jako r, střed čtvrtkruhu položíme do bodu [0;0], jeho další dva vrcholy položíme do bodů [R;0] a [0;R], pak bod dotyku menšího kruhu s čtvrtkruhem bude ležet v bodě

A = [sqrt(2)R/2; sqrt(2)R/2], protože je to bod vzdálený R od počátku a pod úhlem 45 stupňů s osou x. Střed vepsaného kruhu má pak souřadnice B = [r;r] a vzdálenost bodů AB musí být rovna r, protože jde o poloměr menšího kruhu. Z toho už získáme rovnici

(sqrt(2)*R/2 - r)^2 + (sqrt(2)*R/2 - r)^2 = r^2

2*(2R^2/4 - sqrt(2)*R*r + r^2) = r^2

R^2 - 2*sqrt(2)*R*r + 2r^2 = r^2

r^2 - 2*sqrt(2)*R*r + R^2 = 0 - kvadratická rovnice s neznámou r

D = b^2 - 4ac = 8R^2 - 4R^2 = 4R^2

r1,2 = (-b +- sqrt(D)) / 2 = (2*sqrt(2)*R +- sqrt(4R^2))/2 = sqrt(2)*R +- R

r1 = (sqrt(2) + 1) R - to je případ, kdy r>R, toto zamítáme, nejedná se o vnitřní, ale vnější dotyk čtvrtkruhu

r2 = (sqrt(2) - 1) R - toto hledáme

tedy r = (sqrt(2) - 1)*R. Obsah čtvrtkruhu je S1 = pi*R^2 / 4

Obsah vepsaného kruhu je S2 = pi*r^2

a hledaný poměr S2/S1 = pi*r^2 / (pi*R^2/4) = 4r^2/R^2 = 4*(sqrt(2)-1)^2*R^2 / R^2 =

= 4*(sqrt(2)-1)^2 = 4*(2 - 2*sqrt(2) + 1) = 8 - 8*sqrt(2) + 4 = 12 - 8*sqrt(2)

Poměr je tedy iracionální a je roven (12-8*sqrt(2)) : 1.