2x
Obejm jehlanu je roven 1/3*Sp*v, kde Sp je plocha podstavy a v je výška. Protože podstavou je čtverec, a výška jde z jeho středu do vrcholu jehlanu, existuje pravoúhlý trojúhelník, jehož odvěsny jsou polovina úhlopříčky čtverce a výška jehlanu a boční stěna je přepona. Zároveň úhel mezi tou polovinou úhlopříčky čtverce a boční stěnou je zadaných 42°.
Označme si výšku v a boční stěnu s. Potom z definice funkce sinus máme sin 42° = v/s. Tedy v = s*sin 42°.
Ze zadání s = 6,5 cm, sin 42° = 0,669..., takže v = 0,669*6,5 = 4,349... cm.
Označme úhlopříčku čtverce, který tvoří podstavu, u. Pak v pravoúhlém trojúhelníku je odvěsnou polovina úhlopříčky, tedy u/2, a z definice funkce cosinus platí cos 42° = (u/2) / s = u / 2s. Tedy u = 2s * cos 42° = 2*6,5*0,743 = 9,661 cm.
Obsah čtverce můžeme spočítat nejen jako S=a^2, ale také jako S=u^2/2, kde u je jeho úhlopříčka. Je to proto, že z Pythagorovy věty ve čtvreci u = sqrt(2)*a, kde sqrt(2) je druhá odmnocnina ze dvou, a po dosazení u^2 = 2*a^2. Máme tedy obsah podstavy Sp = u^2/2 = 9,661^2 / 2 = 46,666 cm^2.
A objem jehlanu je V = 1/3 * Sp * v = 1/3 * 46,666 * 4,349 = 67,656 cm^3.
Povrch jehlanu je roven obsahu podstavy Sp, který už známe, plus 4* obsah bočního trojúhelníku St. Označme si boční trojúhelník třeba ABV. Boční trojúhelník je rovnoramenný trojúhelník se stranami rovnými AV= 6,5 cm; BV = 6,5 cm (boční hrana) a straně AB= a, která je stranou podstavného čtverce. Tu si tedy přece jen budeme muset spočítat. Protože u = sqrt(2)*a, tak a = u/sqrt(2) = 9,661 / 1,414 = 6,831 cm.
Teď potřebujeme buď Heronův vzorec, nebo výšku na stranu a v bočním trojúhelníku. To není výška jehlanu, ale stěnová výška pouze toho trojúhelníku. Označme ji třeba w (tu, co jde z vrcholu V na stranu AB). Díky rovnoramennosti AV = BV se protne se stranou AB právě v polovině, je shodná s těžnicí. Takže vznikne pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami 1/2a, w a přeponou s. Odtud z Pythagorovy věty s^2 = (1/2a)^2 + w^2 a tedy
w^2 = s^2 - (1/2a)^2 = 6,5^2 - (6,831/2)^2 = 30,584, což odmocníme
w = 5,530 cm.
Obsah trojúhelníka boční stěny je pak klasicky strana krát výška děleno dvěma, tedy St = a*w/2
St = 6,831*5,530/2 = 18,889 cm^2.
Celkový povrch jehlanu je tedy roven S = Sp + 4*St = 46,666 + 4*18,889 = 122,221 cm^2.
Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.
Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.