Parciální derivace - složitější příklad

Není to úplné. Jde o to, že první derivace podle y je rovna x nejen v počátku, ale na celé ose x. To je důležité vědět, abyste násle¨dně mohl tuto derovaco v pořátku derivovat podle x a dostal , že druhý derivace v počítku (a nejen v něm zle v ostatních bodech osy x nám už to bude jednoúm počátaná v pořadí nejprve podle y a pak podle y je rovna jedné. No a první derivaci podle y musíme znát nejen v počátku, ale na celé ose y, z podobných důvodú. Už stači?

Nojo, ale definoce funkce z, kterou jste uvedl v zálaví vašeho řešení, neodpovídá úvodnímu nákresu. Ta definice z rukou psaného dextu odpovídá funkci f(x,y) = xy všude a taková funkce ovšem má druhé derivace záměnná Uvodní definice je

f(x,y) - x*y pro |x| ≤ |y|

f(x,y) = 0 pro |x|> |y|

(f(0,0)=0 už je vlastně redundantní)

To jsem se snažil cvakrád různě podrobně napsat, skoro už nevím, co k tomu dodat. Můžete mi napsat, řemu konkrétně nerozumíte, abych to mohl zkusit vysvětlit?

Snad jen přehledně: K výpočtu druhé derivace (podle x, podle y) potřebyjete tu první derivaci (podle y, podle x) znát na ose (ose x, ose y); pak už ji počítáte jako obyčejnou derivaci.

Vraťme se ke vstupnímu definičnímu obrázku:

Uvnitř vyšrafované oblasti je f(x,y) = x*y a derivaci pro všechny body v ní, speciálně pro body oxsy x mimo počátek, spočteme snadno.

Vně této oblasti je f nulová a derivace pro body v tom vnějšku, zpeciálně pro body osy y mimo počátek, spočteme ještě jednodušeji.

Derivace v počátky tedy musíme spočítat extra, jak, to jsem se pokusil popsat.

No a pak už by to mělo být opravdu jednoduché.

Asi tekhle: když derivuji podle x, skutešně na y nahlíčím jako na konstantu. Tato konstanta ovčem můýe být kdekoli v defoničním oboru funkce f, ale ne pro každá y existuje. Pokud je bod (x,y) v ublasti nevyčárkované (tedy uvnitř těch nevyčárkovaných prostor), je f rovna nule a derivace nuly je nula. Je-li ovšem (x,y) uvnitř vyšrafované oblezti, je funkce f rovna x*y a derivace podle x je rovna y. pokud je ovšem bod (x.y) někde na tech dvou osách kvadrantů, je situoce složitější, Prozradím bám, že mimo počátek derivace podle x ani podle y neexistuje, ale nemusíte se tím zabívat podrobneji, tam nás nebuce zajímat, ale v počátku ji potčebovat budeme, o tom pohovoříme později třeba zítra; zatím se nat tím zamyslete. Podobné je to s derivací podle y, zkuste si to promyslet. Je pravda, že tředba derivace v bodě (4,9) nám nebude k ničemu, nicméně zatím si to promyslete v obecnosti, zkuste počítat první derivace i v počátku, Jinak je už pozdě, nashledanou později.

Teď bych to tedy zkusil podrobněji.

Naším cíklem je vypočítat smíšené derivace v počátku. K tomu potřebuji znát derivaci podle y na ose x včetně počátku, abych ji pak mohl vyšetřovat jako funkci proměnné x (y beru konstantně nulové), a derivovat ji podle x; tím dostanu zmíšenou derivaci nejprve podle y a pak podle x.

Správně píšete, že

2. derivace podle y na ose x se rovná x, kromě počátku

derivace podle y na ose y se rovná 0 na celé ose. (tedy speciílně i v bodě (0,0).

No jo, ale v počátku je x = 0, takže řeknete-li, že derivace podle y se v počátku rovná x, máte pravdu. Shrnuto: derivace podle y se na celé ose x včetně počátku rovná x. A co potřebujeme znát? Derivaci funkce f podle y, , následně zderivouvanou podle x, a to konkrétně její hodnotu v počátku. A jak ji spočteme? Zjistikli jsme, že derivace f podle y se na celé ose x rovná x, a derivace podle x z výrazu x je rovna jedné opět na celé ose x a tedy i v počátku.

=================

Tak a teď budeme derivovat nejprve podle x a následně podle y, chceme najít hodotu v počátku. K tomu musíme najít nejprve derivaci f podle x na ose y včetně počátku, kterou následně zderivujeme podle y při x pevném, rovném nule, a do výsledku dosadíme y = 0 (tedy x=0, y = 0, což je počátek). Podívejme se, co jste napsal:

1. derivace podle x na ose x se rovná 1, kromě počátku

derivace podle x na ose y se rovná 0 na celé ose.

Ten druhý řádek je správně, a když tedy tuto nulovou funkci (při pevném x rovném nule) zderivujeme podle y, vyjde nulavčude na ose y, tedy i v počátku. Takže jsme zjistili, že smíšená derivace fce f v počátku závisá na pořadí, Začneme-li derivovat podle z, vyjde nula a začneme-li derivovat podle y, vyjde1.

Problém je ovšem v tom, že mi není jasné, jak jste zjistil, že "derivace podle y na ose y se rovná 0 na celé ose." Pravda to je, ale ta první číst, totiž "2. derivace podle y na ose x se rovná x, kromě počátku" je nesmysl a nechápu, jak jste na to přišel, Přece funkce f¨(x,y) je na ose x rovna nule; od kdy je derivace nuly je rovna jedné? Spráná úvaha je taková: derivace f podle x je rovna nule všude na ose y krom počátku, protoče tyto body leží uvnitř oblasti kde je f nulová, dále je rovna nule včude na ose x, tedy i v pošítku, a jako závěr vyjde to, že ta derivace je rovna nule na celé ose y všetně počátku.