Matematická tvrzení - otázky 2

(a) je správně

(Nechť funkce f(x) je spojitá na kompaktním (tj. omezeném a uzavřeném) intervalu I. Pak funkce f(x) je na intervalu I. omezená a nabývá na něm svého minima i maxima, viz Weierstrassova věta o maximu)

(b) neplaté (jednoduchý protipříklad: f(x) = x³ ).

(c) je pravdivé(důkaz sporem: kdyby byla derivace v nule kladná, funkce f by byla v bodš nula rostouci).

(d) nepravda. Třeba pro a_{n =} −1/n je příslušná limita mínus nekonečno.

(e) je nepravdivé. Ale ne proto, že by funkce musela být ryze monotonní; ta implikace říká, že by funkce musela být monotonní, ale i ryze monotonní funkce je monotonní. Protipříklad: f(x) = 1/x pro x ≠ 0, f(0) = 0. (výrok by byl pravdivý, kdyby v předpokladech bylo navíc tvrzení, že f je spojitá a prostá na intervalu.)