Liché násobky pí/2

Má-li mít rovnice smysl, musí být tangenta definovanám což odpovídá podmínce cos x ≠ 0 a to je ta vaše podmínka. Takže rovnici prostě řešíme na intervalech mezi těmi vyloučenými body. Jiná věc je, že výsledné řešení je dofinováno na celém R bez omezení a mohli bychom zkoumat, zda nesplnuje to rovnici včetně vyloučenách bodů v nejakém limitním smyslu; nebudu to tu rozebírat, ale uvedomímůli si, že derivace sinu je kosinus, nějak by nám to vyšlo.¨Druké věc je, že po cestě k výsledku e vám obččas dostane do jmenovatele i sin x,případně y, a v tom okamžiku bychom měli vyloučit y = 0, jakož i sin x = 0, ale to není podmínka na rovnici, nýbržna použitoý způsob řešení. Prostě řešíme rovnici nejprve za předpokladu y nenulového a následně musíme zkoumat, co když y = 0 , cožbude triviální řešení příslušné homogenní rovnice, a také sice za účelem použitelnosti separace vyloučíme na okamžik x, pro které sin y = ´, ale takové bodysamotné rovnici nevadí a ani nijak nevadí ve výsledném řešení, takže prostým dosazením se přesvědčíme, že výsledek je řešením všude na intervalech mez vyloučenými body.

To ne. Jediná "skutečná" podmínka je cos x ≠0, jinak by tato rovnice neměla smysl. Tu podmínku pak lze přepsat různě, například jako dvě podmínky x ≠½π± 2kπ, které lze spojit do jediné podmínky x ≠½π+kπ nebo ekvivalentně x ≠½π(2k+1).

Podmínka sin x ≠ 0 v samotné rovnici není nutná, je ovšem pravda, že rovnice v tomto bodě ztrácí vlaastně harakter diferenciální rovnice (není vyřešena vzhledem kprvní derivaci) a některé obecné věty (věta o existenci řešení, například,) nemusí být použitekné. Navíc v průběhu řešení občas tím sinem dělíte a tedy pro účely metodiky řešení ten sibńus musí být nenoluvý. Nicméně poté, co rovnici vyřešíme s podmínkou ("pracovní podmínkou", lze říci), musíme chování v těchto podech vyšetřit extra. A protože dosazením nuly do řešení y = Ksin x @minus; 1 zjistímme, že vykovuje i zde (a je jednoznačné v obvyklém smyslu), v závěru můžeme tu podmínku vypustit a řešení je takové, jak máte napsáno, včetně jediné podmínky cos x ≠ 0.

(Jiná situace by nastala, kdybyste rovnici vyřešila vzhledem k první derivaci vynásobením cotg x. a ještě trochu jiná by byla, kdybyste ji jenom zbavila bodů, v nichž ztrácí smysl, vynásobením kosínem. To jsou tři velmi podobné rovnice, které se ličí právě jen tím, co se děje v těch nulových bodech sinu neb kosinu.)

Omlouvám se, blbě jsem napsal #inus; místo − (což je natěsmo &, minus a středník)

vlastně jsem napsal jiou blbou kombinaci , ale to už nerozvádím.

Ještě co se týče té jednoznačnosti, tu jsem trochu nepřesě odbyl; přitom stojí za to si to promyslet.

Vezměmež konkrétně bod y =0. Tam musí být y = −1, což plune pří rovnice a vidíme i v řešení, že pro každé K to je pravda (mimochodem na tom druhém obrázku jste v závěru zapoměla do řešení konstantu K dopsat, ) Taakže bodem [0,–1]prochází nekonečně mnoho křivek definovaných vaším vzorcem pro řešení, přitom dokonce konstanta k muže teoreticky byt ruzna pro kladná a záporná x. Nicméně má-li funkce y být řešením, musá především v bode nula mít derivaci a tím je tato možnost vyloučrna, pro ruzná K by měla y jinou derivaci zprava a zleva (byla by "zlomená"). A v tom lze spatřovat jistou jednoznačnost.