Moivreova věta - Komplexní čísla

Od: Datum: 21.08.16 15:47 odpovědí: 6 změna: 24.08.16 15:28

Dobrý den,

potřeboval bych prosím pomoct s jedním příkladem. Nebo spíš ne s příkladem, ale s principem, jak daný typ příkladů počítat.

Mám příklad (1+i)^33

Absolutní hodnota |Z| vyjde 2

cos fí a sin fí obě vyjdou √2/2, takže fí = π/4

Dostanu se až k (√2*(cos π/4 + isin π/4))^33

A potom se tam ještě nějak každý z těch úhlů násobí tím exponentem.

Ale dál si nevím rady. Když jsem koukal na jiné příklady, tak tam měli vždy exponent sudý, takže se to hezky s tou absolutní hodnotou z fí nějak vykrátilo. Dále také nevím, jak se ke konci přijde k těm číslům z toho, co mi vyjde z toho cos a sin.

A potom jsem měl ještě jeden příklad, kde cos fí vyšel √2/2 a sin -√2/2, to ale není v tabulce, ale má to být 7/4π. Jak na to přijdu?

Děkuji a budu si cenit jakékoli rady.


Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Datum: 21.08.16 20:26
avatar

Předevčám sins i kosinus má periodu dvě pí, takže z hlediska goniometrických funkci je 33* π/4= (32+1)* π/4 totéž jako π/4 No a − π/4 je totéž co (8− 1 )π/4

Ohodnoceno: 2x
 
Od: filiman
Datum: 21.08.16 21:51
Jo, dobře. Takže jestli to chápu správně, tak 8-1 je protože perioda je dvě pí, takže 2* 4/4π - 1/4π je těch 7/4π?
Datum: 21.08.16 23:28
avatar

Ano; přesněji řečeno, hodnota sinu a cosinu je stejné, nebo jianak řečeno, jak obě tyto hodnoty označují stejný orientovaný úhel.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: filiman
Datum: 22.08.16 15:42

Moc děkuji. Velmi mi to pomohlo. Už zvládám vypočítat víceméně všechny příklady. Avšak narazil jsem na ješte jeden problém se kterým si nevím rady a nemám tušení, kde dělám chybu.

Příklad (-1+i)^15

Všechno vypočítám v pohodě a výsledek mi vyjde 2^7+2^7i

Mám spočítat imaginární část, ale ve výsledcích je prý správně -2^7

Na tento problém jsem už narazil u více příkadů, kde mi vyjde správně číslo, jen kladní znaménko místo záporného. Nevíte prosím proč? Nechtěl bych, aby to u přijímaček byla částečná tipovačka.

Moc děkuji za Vaši dosavadní pomoc.


doplněno 22.08.16 16:11:

Jen bych ještě dodal obrázek, jak jsem postupoval. Aby se mohlo zjistit, jestli není někde chyba tam.

Datum: 22.08.16 23:31
avatar

Pomůže vám geometrická představa. Podívejte se třeba na matematika.cz a na ten obrázek. Tam je komplexní číslo vlastně znázorněno vektorem OZ který svírá s osou x (tedy s reálnou osou) úhel fí. V načem případě ten uhel je (ve stupních) 45 stupňů a vektor OZ má smšr osy prvého kvadrantu. A co s tím vektorem udělá mocnina? Jednak se vektor prodlouží – absolutní hodnota se umocní, tak jak to píšete, a úhel se znásobí, což geometricky znamení, že se celý vektor otočí. Při duhé mocnině o (v našem prípadě) petačtyřicet stupňů, a bude mít směr imaginérní osy. Při třetí mocnině nabere směr osy druhého kvadrantu, pak nabyde směru záporně reální osy atd. Představte si to, nebo si to namalujte o vektor nahradte tužkou, kterou budete otáčet, a zjistíte, že sedmá mocnina ho otočí do směru osy třetího kvadrantu. Takže je jasné, že výsledné komplexní číslo bude mít ypsilonovou složku (tedy vlastně imaginární část) zápronou, směřující dolu pod reálou osu.

Když se na svůj výpočet podíváte z tohoto hlediska, snad se vám to vyjasní, jinak já se na to podívám zítra, sa světla a s lupou, mé oči už nejsou to co bývaly.


doplněno 24.08.16 12:13:

Vy tam ovšem máte patnáctou mocninu, ale ta vyjde co otočení stejně (samozřejmě absolutní hodnota bude větší, ale o tu nám v tomto okamžiku nejde). Ostatně 15 = 7+8 a 8*¾π = 2π čili perioda.


doplněno 24.08.16 12:51:

Ted ale nevím, jestli nekecám a něco jsem nepopletl. Podívám se na to teď podrobnějí, prostuduju i vaše řešeníé a napíšu.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 24.08.16 15:28
avatar

Tak jsem to přepočítal a vyšlo mi − 2^7−2^7i ve shodě s výsledkam, který má být správně. A proč?Nejprve ten geometrický názor: vektpr (−1.1) má směr osy druhého kvadrantu, což odpovídá úhlu fí=½π+¼π=¾π, namalujte si to. A kdyř už to budete mít m tak si to zkuste patnáckrát otočit), vždy o pravý úhel plus o jeho polovinum, to snaddno zvládnete) a bude vám to mířit ve směru osy čtvrtého kvadrantu, a tedy podle výsledku předpokládaného řešení. A teď k vašemu řešení. Je o pro mne malnko nepřehledné vkůli mému zraku, ale přečetl Jakousi drobnou nepřesnost máte hned na začátku, ale jde jen o označení; když totiž počítáte |z|, neuvědomil jste si, že z už je koncový výsledek, zatímco vy potřebujete (a spočítal jste) |(-1+i)|, ale dál s tím počítáte správně. Podtatné je ale určení úhlu fí, vy jste ho spočetl, jakoby směřoval v ose čtvrtého kvadrantu. To je ta základní chyba a ta ovlivnila clý další výpočet. Pak vám samozřejmě imaginární složka vyjde tak, jak píšete.

Ohodnoceno: 0x
 

 

 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.