Moivreova věta - Komplexní čísla

Předevčám sins i kosinus má periodu dvě pí, takže z hlediska goniometrických funkci je 33* π/4= (32+1)* π/4 totéž jako π/4 No a − π/4 je totéž co (8− 1 )π/4

Ano; přesněji řečeno, hodnota sinu a cosinu je stejné, nebo jianak řečeno, jak obě tyto hodnoty označují stejný orientovaný úhel.

Pomůže vám geometrická představa. Podívejte se třeba na matematika.cz a na ten obrázek. Tam je komplexní číslo vlastně znázorněno vektorem OZ který svírá s osou x (tedy s reálnou osou) úhel fí. V načem případě ten uhel je (ve stupních) 45 stupňů a vektor OZ má smšr osy prvého kvadrantu. A co s tím vektorem udělá mocnina? Jednak se vektor prodlouží – absolutní hodnota se umocní, tak jak to píšete, a úhel se znásobí, což geometricky znamení, že se celý vektor otočí. Při duhé mocnině o (v našem prípadě) petačtyřicet stupňů, a bude mít směr imaginérní osy. Při třetí mocnině nabere směr osy druhého kvadrantu, pak nabyde směru záporně reální osy atd. Představte si to, nebo si to namalujte o vektor nahradte tužkou, kterou budete otáčet, a zjistíte, že sedmá mocnina ho otočí do směru osy třetího kvadrantu. Takže je jasné, že výsledné komplexní číslo bude mít ypsilonovou složku (tedy vlastně imaginární část) zápronou, směřující dolu pod reálou osu.

Když se na svůj výpočet podíváte z tohoto hlediska, snad se vám to vyjasní, jinak já se na to podívám zítra, sa světla a s lupou, mé oči už nejsou to co bývaly.

Vy tam ovšem máte patnáctou mocninu, ale ta vyjde co otočení stejně (samozřejmě absolutní hodnota bude větší, ale o tu nám v tomto okamžiku nejde). Ostatně 15 = 7+8 a 8*¾π = 2π čili perioda.

Ted ale nevím, jestli nekecám a něco jsem nepopletl. Podívám se na to teď podrobnějí, prostuduju i vaše řešeníé a napíšu.

Tak jsem to přepočítal a vyšlo mi − 2^7−2^7i ve shodě s výsledkam, který má být správně. A proč?Nejprve ten geometrický názor: vektpr (−1.1) má směr osy druhého kvadrantu, což odpovídá úhlu fí=½π+¼π=¾π, namalujte si to. A kdyř už to budete mít m tak si to zkuste patnáckrát otočit), vždy o pravý úhel plus o jeho polovinum, to snaddno zvládnete) a bude vám to mířit ve směru osy čtvrtého kvadrantu, a tedy podle výsledku předpokládaného řešení. A teď k vašemu řešení. Je o pro mne malnko nepřehledné vkůli mému zraku, ale přečetl Jakousi drobnou nepřesnost máte hned na začátku, ale jde jen o označení; když totiž počítáte |z|, neuvědomil jste si, že z už je koncový výsledek, zatímco vy potřebujete (a spočítal jste) |(-1+i)|, ale dál s tím počítáte správně. Podtatné je ale určení úhlu fí, vy jste ho spočetl, jakoby směřoval v ose čtvrtého kvadrantu. To je ta základní chyba a ta ovlivnila clý další výpočet. Pak vám samozřejmě imaginární složka vyjde tak, jak píšete.