Povrch pomocí integrálu

Od: Datum: 09.07.16 18:55 odpovědí: 5 změna: 12.07.16 10:36

Zdravím, když počítám obsah rovinného útvaru, který je omezen dejme tomu osou x (y) a nějakou funkcí, nebo dvěma funkcemi, musím si vždy kreslit graf? (myslím u těch složitějších, který nevím z hlavy), abych zjistil jestli se ta plocha nachází pod či nad osou x

Nebo když v daném intervalu je část pod a část nad.

Když vyjde záporný obsah, znamená to vždy, že je pod osou x?

Díky za vysvětlení


Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Datum: 10.07.16 18:33
avatar

Obsah je vždy kladný a počítá se jako rozdíl integrálu z horní omezujíci funkce a z dolní omezující funkce (tedy pokud jde o obsah mezi dvěma funkcemi, jsou i solžitější příklady.

Pokd počítáte určitý integrál z nějaké dostatečně rozumné (například spojití) funkce, pak vám vyjde číslo, které může být vcelku jakékoli. A geometrický význam takového čísla lze interpretovat jako rozdíl obsahú nad osou x a pod osou x, čili výsledek je záporný, když – názorně řečeno – pod osou x je toho víc než nad osou. Ověem stále platí, že tyto úvahy mají smysl pro spojité funkce, nebo aspoň pro funkce "rozumné", ale co je to rozumní funkce, toť otázka a odpověď záleží tak trochu na nás. Já bych se držel pro začátek funkce spojité na omezeném uzavřeném intervalu (a tedy omezené). V dalším uvažování se můžeme pustit dál, třeba upustit od spojitosti všude a pd omezenosti, čímž se dostaneme k pojmů nevlastního integrálu (například studujeme funkci 1/x pro kldná x nebo funkci 1/x² pro x ≥1 a tak podobně). A jen jako příklad "nerozumné" (přesněji "méně rozumné" ) funkce bych uvedl Dirichletovu funkci, která je rovna nule pro x iracionální a jedné pro x racionálné. Kdybyste si namaloval graf takové funkce, vybadal by jako dvě rovnoběřky, protože ono sice je v těch rovnoběžkách spoustu "děr", ale jejich body jsou najhoře i dole tak nahusto, že ty díry "od pohledu" nerozeznáte. Ale rozebírat ji nebudu, nicméně vězte, že při untegrování s tím mohou být problémy a při geometrické interpretaci (taky (obsah čeho by vymezovala?)

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 11.07.16 09:26
avatar

Ještě snad dodatek k dotazu, zda je třeba dělat obrázek. V zásadě ne, to záležá na vás, ale já si myslím, že obrázek nikdy není na škodu (jen nezapomínejte, že je to vždy jen ilustrace). Jde o to, že hledáme-li obsah plochu ,ezi finkcemi f a g, musíme umět rozhoddmout, která z nich je větší a kde; integrál z té druhí následně odečítáme (v případě nutnosti si tintegrační interval rozdelíme na kusu podle toho, která vunkce je v nich "nahoře"). To v podstatě znamená řešit nerovnosti f ≥ f, případně opašně. K tomu obrázek nutně nepotřebujete, ale bude užitečný.


doplněno 11.07.16 15:12:

A jen poznámku na okraj, název otázky je trochu zavádějící, pod "povrch pomocí integrélu" bych si přeedstavil spíš například povrch koule a tak. Lepčí by bylo "obsaah pomocé integrálu".

Ohodnoceno: 0x
 
Od: kolomaznik
Datum: 11.07.16 17:23

díky za vysvětlení, nevíte náhodou o nějakém příkladu, kde jsou zadány aspon ty tři funkce, třeba nějaké ty tři paraboly

Datum: 12.07.16 10:34
avatar

Pír příkladů máte třeba zde, dalčí si můžete koupit za 250 korunm ale já to nezkoučel, takže nevím, zda to stojí za to.

Jen snad k příkladu druhému bych poznamenal, že výpočet je tam samozřejmě dobře, ale ne úplně jedoznačně vidím to vymezení měřené plochy, někdo by mohl namítat, že uvedené křivky ommezují vícedílný obrazec, na obrázku jsou minimálně dva díly. Jenže to by nebylo to pravé ořechové, protože ten spočítaný obrazec se opakuje nekonečněkrít a je tedy rozumné pořítat jedn, ten vyštafovaný, kousek- Já osobně bych zadání doplnil například slovy "Vypočítejte obsah množiny ležící v prvním kvadrantu a ohraničené křivkami" . No a v příkladu 5 je zjevný přepis, u funkce f, definující kružnici, má být pod odmoxninou r² − y², jak jo to ostatně užito při integrování, a taky je dost stručný, je to ukázka a ne podrobné řešení.

Bšjaké teoretické úvahy, doplněné řešenými příklady, jsou zde, možná se podívejte i tam.

Ohodnoceno: 0x
 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.