Třetí integrace, postup + vypocet

Od: Datum: 25.05.16 15:07 odpovědí: 5 změna: 25.05.16 22:43

Dobrý den, byl bych moc vděčný někomu kdo by mi vypočítal tento příklad na třetí integraci a s postupem mi popsal jak k výsledku postupně došel, moc by mi to pomohlo, jedná se o příklad z jedné staré učebnice, velice děkuji.
∫∫∫ z dx dy dz, A-osmina koule, S=0
A
z nebo r (bohužel nepřečtu) =1 , x>0, y>0, z>0


Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Datum: 25.05.16 16:12
avatar

Nejprve byste si měl uvědomit, co to je za příklad. To není žádná třetí integrace, ale trojný integrál. A to S bude zřejmě střed té koule, S = [0,0,0], r (zřejmě r, z je integrační proměnná,) její poloměr.

Než začnu psát dál, napište, co o trojných /obecně vícerozměrných) intedrálech víte. Zadání totiž ve mně budí podezření, že nic, a to se pak těžko vysvětluje. Potřeboval bych vědět, na čem stavět. Říká vám například něco Fubiniova vta, veta o subztituci ve více dimenzích, polární souřadnice...?

Ohodnoceno: 0x
 
Od: kryo
Datum: 25.05.16 16:45

Třetí integrace = trojný integrál, že by to někdo tak moc řešil to jsem opravdu nečekal. O integrálech něco málo vím, jen tenhle příklad společně s kolegou nejsme schopni vypočítat, tudíž potřebuji řešení s vysvětlivkou. Nechci po vás žádné obří vysvětlení, stačí mi postup s výsledkem.

Datum: 25.05.16 19:44
avatar

Třetí integrace ≠ trojný integrál, třetí integrace je v tomto kontextu blbost.

A k řešení: Jde to samozřejmě různě. Jedna možnost: zavedu cylindrickou substituci

x = ρ cos α, y = ρ sin α, z = z

a tedy dxdydz = ρ dρ dα dz.

Následně použiji Fubiniovu větu, kde vnitřní integrál bude podle z od 0 do sqroot (r² −ρ²), vnější bude přes čtvrtkruh 0≤ρ≤r, 0≤α ≤½π.Ten vnitřní integrál evidentně vyjde sqroot(r² −ρ²) a tedy budu integrovat podle ρ a α přes výše popsaný čtvrtkruh funkci

ρ sqroot (r² −ρ²)

A znovu Fubini a uloha je převedena na jednoduchý integrál

½π∫ ρ sqroot (r² −ρ²) dρ

pro ρ od nuly do r, který jistě zvládnete.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: kryo
Datum: 25.05.16 19:55

∫∫∫ z dx dy dz = ∫∫∫ r cos (t) r^2 sin(t) dr df dt = ∫df (f in [0. pi/2]) ∫r^3 dr (r in [0, 1]) ∫ sin(2t)/2 dt ( t in [0, pi/2]) =
A A

pi/2 1/4 2/2 = pi/8

Vyšel nám tento výsledek. Je to správně?

Datum: 25.05.16 22:43
avatar

To asi ne, přiznám se, že vašemu zápiosu moc nerozumím, speciálně mi tam chybí odmocniny, já psal sqroot, možná by čšlo napsat &sqrt; . Rozhodně mně vyšlo pí/6.

Ohodnoceno: 0x
 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.