Užití diferenciálního počtu

Od: Datum: 25.02.16 19:21 odpovědí: 27 změna: 27.02.16 19:44
avatar

Dobrý den, jak tady prosím poznám, že druhá derivace bude menší než nula? Nebo ji mám špatně? Děkuji



Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Datum: 25.02.16 20:17
avatar

Takhle z hlavy to nezkontroluji,musím si to přepočítat, ale nemůže to být dobře; tak, jak vám to vyšlo, by zápornost závisela na r a to by být nemělo.


doplněno 25.02.16 20:54:

Jistě, je to špatně. Hned v prvním členu té druhé derivace jste špatně zderivovala vnitřní funkci, to pod odmozninou, takže ve jmenovateli bude ta odmocnina,tak jak ji tam máte, násobená dvěma, ale v čitateli bude mínus a. Podobnou chuybu máte ve druhém členu. ale to už si pořešíte sama.

Ohodnoceno: 2x
 
Datum: 25.02.16 21:07
avatar

Moc děkuji a teď?

Datum: 25.02.16 21:27
avatar

To je lepší. ale ještě to není úpln+ě dobře. V čitateli prvního výrazu bude jenm –a a me –2a; nebo chcete-li. bude tam –2a. ale ve jmenovateli bude 4 a to se zkrátí.

A ještě drobná finta: vy hledáte maximum výrazu a*b. Ale je-li maximální tento výraz, je maximální i jeho čtverec a²b², ve kterém už žádné odmocniny nejsou.

Ohodnoceno: 2x
 
Datum: 25.02.16 22:14
avatar

Co dělám prosím špatně? Teď mi to zase vychází obráceně. Děkuji

Datum: 25.02.16 22:56
avatar

Zase zítra

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 26.02.16 11:36
avatar

V tom posledním jste násobila dvěma místo půlkou; druhá odmocnina z výrazu A je A na jednu polovinu.

Zkusím probrat ten příklad celý, on je řešitelný mnoha způsoby a popravdě ten váš, jakkoli pravděpodobně očekávaný v rámci užití diferenciálního počtu, je ten nejsložitější, jaký si dovedu představit.

Takže zadání je "do půlkruhu o poloměru r vepište pravoúhelník o maximálním obsahu"; k tomu jste namalovala dobrý obrázek, v němý jste délku základny označila a, výšku b. Vztahy, které dále používáte, jsou :

obsah S = ab,

vztah mezi stranami: r² = (½a)² + b² (Pythagorova věta).

Tyto vztahy jsou samozřejmě vpořádku a budeme z nich vycházet. Hledáme maximum S při podmínce, že a, b splňují uvedený vztah.

Jak jsem už napsal, první ulehčení dosáhneme, když si uvědomíme že je-li maximální (kladný) výraz S, je maximální i výraz a naopak zase. Tím se zbavíme nutnosti odmocňovat.

Dále, k vyhledání maxima S vůbec nepotřebujeme derivovat. Lze použít známou nerovnost mezi aritmetickým a geometrickám průměrem, která říká: jsou-li u,v nezáporná realná čísla a označíme-li s = ½(u+v) jejich aritmetický průměr a g: g²=ú*v jejich průměr geometrický, pak vždy platí

s ≥ g

a rovnost nastává právě tehdy, je-li u = v. A jak tuto větu využiji:

Upravím S takto

S = ab = 2(½a)*b = 2g

S² = 4(½a)²*b² = 4g²

kde, že g je je geometrický průměr čísel (½a)² a b², jejchž aritmetický průměr je 2s = (½a)²+b² = r².

Závěr: S ≤ 2r², rovnost čili maximum) nastává pro (½a)²=b². odkud b = r*(½2^½), a = r*(2^½)

Tak to je první způsob, další uvedu samostatně, abych jednu odpověď moc nepřetížil.

Ohodnoceno: 2x
 
Datum: 26.02.16 12:00
avatar

Mockrát děkuji, ještě prosím, já stále nechápu tu chybu v druhé derivaci. Kde jsem násobila dvěma místo 1/2? Děkuji


doplněno 26.02.16 12:06:

Je chyba v tom, co jsem sem vložila včera 22:14?

Jsou to úlohy na diferenciální počet, proto to dělám takto složitě - na některé úlohy by šlo odpovědět i okamžitě z hlavy.

Datum: 26.02.16 12:34
avatar

Je mi jasné, že postup, který volíte, je véce méně očekávaný, jen jsem chtěl rozebrat všechny možnosti. A teď jen k té poslední derivaci. Rozumím dobře, že derivujete výraz z = ½(4r²–a²)^½ podle a? Pak je postup takto:

z´ = ½* {½[(4r²–a²)^(−½)]*(4r²–a²)´} = ½* {½[(4r²–a²)^(−½)]*(–2a)} =

= – ½a/ {(4r²–a²)^½} = –a/ {2(4r²–a²)^½} .

Je to tak srozumitelné, nebo to mám nascanovat jako obrázek?

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 27.02.16 14:37
avatar

Mockát děkuji, takhle?

Datum: 27.02.16 16:33
avatar

Tohle asi je dobrý výpočet, pokud jsem něco nepřehlédl.

Jiíná věc je to, že druhou derivaci počítáte zbytečně a ten výsledek vám vlastně k ničemu není. To, že je druhá derivace záporná, znamená, že v příslušném bodě má funkce S = S(a) lokální maximum, ale vy hledáte globální maximum. Správný postup je tento:

Funkce S je spojitá na uzavřeném intervalu od nuly do 2r. Podle Weierstrassovy věty nabývá na tomto intervalu svého minima a maxima. Z teorie extrémů plyne, že těhto extrémů nabývá buď v krajním bodě tohoto intervalu, tebo v bodě, v němž není derivovatelná, nebo v bodě, kde je derivace nulová (mluvíme o tzv. podezřelých bodech). Krajní body jsou dva, totiž a = 0 a a = 2r, pro něž platí S = 0, a protože v ostatních bodach je S kladné, je v těchto bodech absolutní minimum funkce S. Derivovatelná je funkce S všude, takže zbývá jediný další podezřlý bod, v němž je první derivace nulová a v něm tedy prostě musí být globální maximum.

Pokud neznáte Weierstrassovu větu o extrémech spojité funkce, můčete použít tento postup: vyšetříte znaménko první derivace. Zjistíte, že vlevo od stacionárního bodu (tj. bodu nulové derivace) je první derivace kladná a S je tam rostoucí, vpravo od něj je záporná a S je klesající, odkud také plyne, že ve stacionárním bodě nabývá svého maxima. Q.E.D.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 27.02.16 17:16
avatar

Mockrát Vám děkuji za pomoc a rady.

Od: priklad
Datum: 27.02.16 17:16

Četl jsem jen zadání a zajímalo by mne zda nakonec nebyl výsledek

a=b=r/2½

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 27.02.16 17:33
avatar

Takhle vyšlo b a a = r . 2^1/2

Od: priklad
Datum: 27.02.16 17:42

To je snad špatně opsáno. a nemůže být větší než r

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 27.02.16 17:52
avatar

Musí platit, že a je větší než 0 a menší než 2r

Řešení příkladu:

Datum: 27.02.16 17:56
avatar

Proč by a nemohlo být větší než r? Ono a je dvojnásobek b, "rozkládá se" ma obě strany od počátku.

A jen znova upozorňuji, že výpočet druhé derivace do řešení tohoto příkladu prostě nepatří.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 27.02.16 18:00
avatar

Proč jsme se ve škole učili ověření pomocí druhé derivace a ne ten postup, co jste psal výše? Stejně vždycky vyjde, že je to dobře.

Datum: 27.02.16 19:12
avatar

Pomocí druhé derivace se ověřuje lokální extrém. Znáte rozdíl mezi lokálním a globálním extrémem? Pak jistě víte, že hledání globálních extrémů se dělá přeci jenom poněkud jinak, i když s využitím technik "lokálních".

Jinak je samozřejmě pravda, že pokud globální maximum leží uvnitř intervalu, je to zároveň lokální maximum a tak v něm bude první derivace nulová (tedy pokud existuje) a druhá derivacezáporná. Ale pro nalezení globálního maxima je potřeba především vědět, že existuje. A když to vím, že existuje, tak ověření znamémka druhé derivace je zbytečné.

Učili jste se, jak se hledají globální extrémy? Tak mi řekněte, jak se postupuje při hledání maxima, jestliže ta vyšetřovaná funkce bude slořitější a bude mít tři stacionérní body, a druhá derivace bude záporná ve dvou z nich?

Nebo si představte, že by funkce S byla pro kladné S definovaná tak jako ta vaše, alle S(0) bude rovno 3 485 781 r². Jaké bude maximum téhle funkce?

Vy se učíte jednodušší příklady, ale určit+ě jste se učili i o rozdílu mezi lokálním a globálním extrémem. A výše uvedené příklady by vás měly přesvědčit, že souvisloast se znaménkem druhé derivace tu je, ale jeho ověřování ke při nejmenším nadbytečné.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 27.02.16 19:16
avatar

Učili jsme se jen lokální extrémy, globální ještě ne.

Od: priklad
Datum: 27.02.16 18:05

No pokud čtu odpověď že výsledek je a=b pak tedy skutečně a nemůže být větší než r

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 27.02.16 18:16
avatar

a se ale nerovná b, kde to čtete?

Od: priklad
Datum: 27.02.16 18:50

Čtu b a a =

Předpokládám že to první a je spojka. Je to zmatečné


doplněno 27.02.16 19:29:

Jen tak pamatuji ze střední, že k praktickému užití derivace se zadával klasický příklad jak vystihnout rohy u tabule plechu, aby šla vyrobit krabice bez víka co největšího objemu.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 27.02.16 19:17
avatar

Trochu ano. A takhle?

"Takhle vyšlo b a a = r . 2^1/2"

Nebo, ještě lépe,¨

Takhle vyšlo b; a =r. 2^1/2

Ohodnoceno: 0x
 

 

Od: priklad
Datum: 27.02.16 19:24

O nic nejde. Jen mně tak napadlo zda výsledkem nebude čtverec. Jak je vidět není. To b mne mate. Asi bych uvítal

a=

b=

Dostal jsem odpověď na a= A pokud jsem správně pochopil tak b=1/2a

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 27.02.16 19:18
avatar

Aha, pardon, já myslela, že b vyšlo jak jste napsal.

Datum: 27.02.16 19:25
avatar

Tak potom ano. A pak se musíte holt spokojit s tím, že uvedený příklad řešíte ne zcela přesně a spolehnout se na to, že ten výsledek je v pořádku. A vysvětluje se tím to, že můj postup je pro vás zcela neznámý.

Ale monotonii jste se učili? Pokud ano, tak tomu druhému postupu byste měla rozumět.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 27.02.16 19:44
avatar

Ano, monitónii ano, ale pak už jsme hledali jen lokální extrémy. Jak jste psal ten postup výše, tak tomu rozumím, ale nedělali jsme to tak u úloh řešených diferenciálním počtem.

 

 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.