Reálná čísla a výrazy

Od: Datum: 05.01.16 16:45 odpovědí: 9 změna: 07.01.16 15:56

chci se zeptat ohledně toho přikladu, sám jsem nad tím seděl hodinu a půl a nepřišel ke kloudnému výsledku

2x2 + y2 − 2xy + 2x + 4

Najděte všechna reálná čísla x a y, pro něž daný výraz nabývá své nejmenší hodnoty a určete všechny dvojice celých nezáporných čísel x a y, pro které je hodnota daného výrazu rovna číslu 16.


Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Datum: 05.01.16 17:34
avatar

Snad

nejmenší hodnota: x= -1, y= -1 (hodnota 3)

hodnota 16: x=2, y=0 nebo x=1, y=4 nebo x=2 a y=4

Ohodnoceno: 2x
 
Od: mickeybouse
Datum: 05.01.16 18:48

Díky za odopvěď, ale já více než výsledek potřebuji postup řešení

Od:
Datum: 05.01.16 19:06
Ohodnoceno: 0x
 
Od: mickeybouse
Datum: 05.01.16 19:18

Nějak to nechápu, derivace jsme ještě nebrali

Datum: 05.01.16 22:25
avatar

Uvedený postup s pomocí derivací je obecný postup, použitený i na složitější funkce, než jsou polynomy (a toto řešení určuje lokální minimum, ke globálnímu minimu je třeba udělat ještě krok). U polynomů dvou proměnných druhého stupně to můžeme zkusit bez nich a v tomto případě to nebude zas až tak složité. Stačí výraz 2x² + y² − 2xy + 2x + 4 vhodně doplnit na čtverec, například takto:

2x² + y² − 2xy + 2x + 4 = x² +x² + y² − 2xy + 2x + 1+3 = x² − 2xy + y²+x² + 2x + 1+3 = (x −y)² +(x+1)² +3

a uvědomit si, že nejmenší možná hodnota druhé mocniny je nula.

Ohodnoceno: 1x
 
Datum: 05.01.16 20:34
avatar

K tomu řešení: Obecně 2x2 + y2 − 2xy + 2x + A = 0 je rovnice kuželosečky, zde elipsy, a jako taková má řešení nekonešně mnoho. Když ale přidám podmínku, že ta řešení mají být celá nezáporná a ýe v našem případě A = –12, vidíme, že y musí být dělitelno dvěma, což dává konečně mnoho hodnot y k vyzkoušení; sestavte kvadratické rovnice pro x, kde y = 0 nebo 2 nebo 4 a zvládnete to.


doplněno 05.01.16 23:12:

což není tak jednoduché. Má prvmí úvaha vylučuje třeba y = 3, ale nevylučuje třeba y=6.Nicméně některá řešení takto najdete, zatím nevím, da všechna.

Ohodnoceno: 1x
 
Datum: 05.01.16 23:58
avatar

po úpravě

= x2 + 2x + 4 + x2 -2xy + y2 = (x + 2) 2 + (x - y)2

pak minimální hodnita je pro x = - 2 a y = - 2 cože je 0


doplněno 06.01.16 00:12:

pardon..chyba !


doplněno 06.01.16 00:14: (x −y)² +(x+1)² +3...správně to má kartaginec
Ohodnoceno: 1x
 
Od: smutny
Datum: 06.01.16 21:47

Ahojte, dostal jsem také tento příklad v olympiádě, bohužel tuto olympiádu musíme řešit povinně, jestli chceme mít dobrou známku z matiky. Já však tady toto nechápu, ještě jsme to nebrali, ale učitelka má dojem, že jsme chytří na to, abychom na to přišli. prosím vás mohl by mi sem někdo dát komplet postup a řešení celého příkladu? Děkuji Budu vám fakt vděčný.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 07.01.16 15:56
avatar

No, když jste to nebrali, tak není tak úplně jednoduché na to přijít, ale ned vaše síly a znalosti by to být nemělo. Ale kompletní postup nedám. i když odpověď na tu část o minimu máte mezi odpovědmi nejméně dvakrát, pohledejte.

A k té otázce

Najděte všechna reálná čísla x a y, pro něž daný výraz nabývá své nejmenší hodnoty a určete všechny dvojice celých nezáporných čísel x a y, pro které je hodnota daného výrazu rovna číslu 16.

něco napíšu. Už jsem psal, že y musí být sudé. Taky jsem psal že rovnice 2x²+ y² − 2xy + 2x + A = 0 má celou kuželosečku řešení, tak na to pojďme z této strany. Předevčím specifikuji A = −12 a pak vypočtu třeba x pomocí y. Pro x je to kvadratická rovnice

2x²− 2x(y −1)+ y²− 12 = 0 , jejíž diskriminant budeD = 4(y −1)²−8*(y²− 12) = −4*(y²+2y−25)

který musí být nezáporný. Ale y je (dle zadání) sudé nezáporné, což dává tyto možnosti: y = 0, y = 2, y = 4 (y = 6 už je moc). Takže stačí uvedenou rovnici řešit pro tyto tři hodnoty y, což dává ty tři dvojice, které uvádí @opicak. když nebudeme požadovat nezápornost, vyjdou ještě další možnosti, ale ty nechám na vás.)

Ohodnoceno: 0x
 

 

 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.