Vzdálenost bodu

Taky by to mělo tak jít, Otázka je, co je jednodušší.

Taky by šlo hledat normálu z počátku řešením extremální úlohy,

V novém roce se k tomu vrátím, i k té normále, s kterou to není zas až tak jednoduché (souvisí to i s takovými pojmy, jako je oskulační kružnice).

To jistě je a navíc je to elementární; to, že to máte počítat přes derivace, je zřejmě jen ze cvičných důvodů.

Nejprve se zeptám:: dělali jste už vázané extr=my?

Vázané extrémy jsou v podstatě to, co jsme právě dělali, prostě hledáme extrém funkce více (zde dvou) proměnných, které splňují nějakou vazbu. rovnici parabply, přímky... My jsme to převedli na extyrémy jedné proměnné, ptal jsem se proto, že v teorii vázaných extrémů se užívají i sofistivanější metody Lagrangeovy multiplikátory) Ale i zde to lze dělast stejně jako předtím.-

Zde vidím pár drobných problémů.

1. Když bez derivace, jak bez ní spočtete rovnici normály.

2. Co kdyý vám v daném bocě vyjdoe více normál

3. A last but not least, jak dokážete, že nejbližší bod je právě ta "pata normály"? (Ona to ostatně není vřdy pravda.)

Tak dobře, zkusme to aplikovat na náš případ; stejně jsem sliboval další rozbor.

Naše rovnice je

2x² - 2y - 9 = 0,

jejíž vrcholovy tvar bude(x²−0) = 2*½(y + 4,5)

tedy V = V[0;−4,5], p = ½ (osa paraboly je rovnoběžná s osouy y a parabola je otevřená nahoru – je konvexní).

Dále budu dříve či později potřebovat vzdálenost d počátku od obecného bodu paraboly, pro kterou platí

d =√(x²+y²) = [dosazením za y z rovnice paraboly] = √(x²+ (x²−4,5)²)

Zkusím nejprve cestu přes normálu. Je celkem jasné i bez počítání (ale vyjde to i vaším postupem ze vzorců), že normála k parabole, vedená počátkem, je osa y čili přímka x = 0. Vydálenost počátku od vrcholu paraboly je po dosazení rovna 4.5. To ale rozhodně není nejmenší vzdálenost, jak snadno zjistím tak, že do vzorce pro vzdálenost zkusmo dosadím průsečíky paraboly s osou x, což jsou body [± √4,5;0], jejichž vzdálenost od počátku je √4,5 ≈2,12, tedy méně.

Problám je totiž v tom, že tvrzení, že nejbližší bod leží normále, tak samozřejmé třeba pro vzdálenost bodu od přímky, pro nelineárné útvary obecně prostě neplatí; to není žádná akademická debata, ale fakt. Obecně je to poněkud složitější problém, ale konkrétně pro naši (konvexní) parabolu je podobná úvaha vpořádku pro body pod parabolou, kdežto pro body nad ní (vágně, byť nepřesně, bych řekl pro body uvnitř) může platit jen blízko paraboly. Nicméně korektní rozbor ukáže, že vrchol má v našem problému jakousi extremální roli, leč přímo opačnou.

K tomu se ale vrátím v dalším příspěvku, tohle bych už moc přetížil. Ale zatím poděkuji za odkaz na Bartschovy tabulky, konkrétně tyhle jsem neznal a stahl jsem si je.

Samozřejmě. podrobným rozborem najdeme další dvě normály, jdoucí počátkem. a ty už budou vyhovovat, ale jak vidno, opravdu to není tak jednoduché.

Zkuste mrknout na uložto.cz

Já jsem hledal jenom Bartsch

Teď se tedy vrátím k řešení úlohy pomocí extrémů.

Jak jsem psal, jde o to minimalizovat výraz d =√(x²+y²) přes všechny body naší paraboly, což jsme osazením převedli na problém extrémů funkce

d(x) = √(x²+ (x²−4,5)²)

pro reálné x. Při jeho řešení bychom měli tuto funkci derivovat, čili mj. derivovat odmocniny a složené funkce. To samozřejmě není problém, to bychom měli umět a vzniklé rovnice lze zjednodušit, ale přeci jen si to můžeme zjednodušit hned na začátku. Je-li vzdálenost minimální, je minimální i její kvadrát, takže stačí hledat extrémy funkce

f(x) = (x²+ (x²−4,5)²).Takže:

f(x) = x²+ (x²−4,5)² = x⁴ −8x²+20,25f’ = 4x³ −16x = 0, stacionární body jsou x₁=0, x₂= −2, x₃= +2

f´´ = 12x²−16.

V bodě nula je druhá derivace záporná a funkce zde má lokální maximum (sic!), v bodech ±2 je druhá derivace rovna 32 a tedy kladná a to jsou hledané minimální body. Jsou to, přesněji, body lokálního minima a přísný matematk by ještě chtěl vědět, zda globální minimum vůbec existuje, ale ono je to vidět. Při zvětšujícím se |x| bude vzdálenost růst, takže jsme našli skutečně body globálního minima a jeho hodota bude √4,25 ≈2,06Teď to odešlu a pak se ještě vrátím k nějakým detajlům.

chybky se vloudily,tak znovu:

Tak teď další poznámky.

1. zkonstruuji li normály v extremálních bodech. také budou procházet počátkem , a konec konců lze k nim dojít i zpětným postupem, navrženým @roman68. To je ten případ, který jsem měl na mysli, když jsem se ptal, co když bude normál více (zde jsou dokonce tři). Nicméně v zásadě cesta přes normály je schůdná, ale řekl bych, že potřebuji znát víc teorie, než pro průběh funkce.

Za druhé, mohl bych zkoušet i jiná zjednodušení. Například bych mohl místo y spočítat a dosadit x, čímž bych dostal pro y jen kvadratickou rovnici, ovšem extrémy bych hledal jen pro y ≥ −4,5 (a krom bodů s nulovou derivací bych musel vyšetřovat krajní bod).

No a nakonec doplněním na čtverec

d² = x^4−8x²+20,25 = (x² −4)² +4,25

se úplně obejdu bez veškerého derivování a konstrukce tečen či normál; ihned vivím, že tento výraz bude nejmenší pro

x² = 4