1x



Vzdálenost bodu

Od: Datum: 31.12.15 11:27 odpovědí: 26 změna: 03.01.16 19:42

Zdtavím, můžete mi pomoct jak postupovat s tímto příkladem?

Najděte minimální vzdálenost bodů paraboly 2x2 - 2y - 9 = 0 od počátku soustavy souřadnic.

Musím najít nějakou funkci pro vzdálenost?


Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Datum: 31.12.15 12:24
avatar
Tak něco takového potřebujete. Ale nemusíte počítat nutně vzdálenost, tedy odmocninu ze součtu čtverců souřadnc, protože je-li minimální vzdálenost d, je minimální i její čtverec d² = x²+y² a stačí tefy minimalizovat tento výraz za splnění podmínky 2x² - 2y - 9 = 0.
Ohodnoceno: 2x
 
Datum: 31.12.15 15:34
avatar

a nešlo by to přes rovnici normály k parabole?


doplněno 03.01.16 19:03:

ještě mě napadlo jednodušší řešení:

rovnice kružnice se středem v počátku + rovnice obecná paraboly

dosadíme za x2 (vyjádřeno z rovnice kružnice a řešíme kvadrat rovnici pro y a r2 bereme jako parametr.

Pokud mají kružnice a parabola jeden bod doteku (jeden průsečík) musí být diskiminant D = 0 a z toho pak vyjde poloměr-vzdálenost od počátku

Ohodnoceno: 2x
 
Datum: 31.12.15 15:49
avatar

Taky by to mělo tak jít, Otázka je, co je jednodušší.

Taky by šlo hledat normálu z počátku řešením extremální úlohy,

Ohodnoceno: 2x
 
Datum: 31.12.15 17:02
avatar

no určitě by to bylo pracnější ..ale já to prostě potřebuju vidět v hlavě...

ten váš způsob pochopit - to je už na středoškoláka (a na mě) dost obtížné -

Tohle vypadá na úlohu z 1. ročníku Univerzity?

Ohodnoceno: 1x
 
Datum: 31.12.15 21:32
avatar
Nevím přesně, co je dnes středoškolská látka, ale derivace k ní dnes patří. Takže spíš než tohle hodnotit, zkusím řešení rozepsat.Za prvé, vzdálenost počátku [0;0] od obecného bodu [x;y] je d = √(x²+y²)bez toho se asi nehneme dál, a tento vzoreček budeme potřebovat v každém případě.Teď přímočarý postup by asi byl, do vzorečku d = √(x²+y²) dosadit z rovnice 2x² - 2y - 9 = 0. za y a hledat minimum funkce d(x) = √(x²+ (x²−4,5)²)na reálné ose. Tyhle ¨úlohy se klasiskoy řeší pomocí diferenciálního počtu, derivace se dnes učí už na střední (za mně to ještě nebylo), a to tak, že první derivaci položíme rovnu nule a stacionární body se nějak vyšetří dál. To teď máme připraveno, najdeme x a tomu odpovídající y a spočteme d.Celý postup lze zjednodušit, ale to až příště.
doplněno 01.01.16 00:10:

V novém roce se k tomu vrátím, i k té normále, s kterou to není zas až tak jednoduché (souvisí to i s takovými pojmy, jako je oskulační kružnice).

Ohodnoceno: 2x
 
Datum: 31.12.15 21:34
avatar

ano o tom jsem také uvažoval-samozřejmě vím , že se to na gymnáziu používá - při vyšetřování průběhu funkce

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 03.01.16 19:42
avatar
Taky možnost; dnes mne taky napadla (s pomocí kolegy). A zároveň souvisí s tou normálou, zdůvodňuje to, proč ten bod dotyku je patou normýly , normála ke kružnici to jako poloměr jistě je, a kružnice bude mít s tou parabolou tečný dotyk. Ale bude to třeba ještš promyslit.Ona kružnice může mít s parabolou až čtyři společné body, to souvisí s tím, že pro y dostanete kvadratickou rovnici a y je v podstatě x na druho. A stále zůstává otázka, zda nalezený bod bude bod minima nebo bod lokálního maxima, to když se ta kružnice bude paraboly dotýkat zvnějšku, Tak tomu bude právě v načem příkladu , když zkonstruujeme kružnici procházející počátkem. Je to opravdu zajímavá úloha a zdá se mi, že úplně nejjednodušší bude to řešení, vycházející z doplnění vzorce pro vzdálenost na čtverec.d² = x^4−8x²+20,25 = (x² −4)² +4,25V každém případě tado dvě řešené opravdu nepotřebují derivování, Řešení přes průběh funkce derivace využívá, ale zase objeví i body lokálních maxim a rozbor je jasný a úplný. Řešení přes normály, při kterém použiji vzoreček pro normálu, přímo derivace neužívá, ale někde v pozadí ta derivace je, normála je kolmice k tečně a směrnice tečny je derivace. Jistě, technicky se mohu boz derivování obejít třeba podobně , jak navrhujete zde, tedy hledání přímky protínající parabolu jen v jednom bodě /nerovnoběžné s osou), ale někde v pozadí tam ta derivace je. A stále si myslím, ýe aš postup je možná názornější než průběh funkce, teoretický background bude složitějši a konec konců složitější bude i rozličení typu extrému.
Ohodnoceno: 0x
 

 

Od: kolomaznik
Datum: 31.12.15 20:41

Ano prvák VŠ


doplněno 31.12.15 21:21:

ale já tomu pořád nerozumím

Datum: 31.12.15 21:41
avatar

a postupu jak uvedl kartaginec ve 21:32 rozumíš?

Ohodnoceno: 0x
 
Od: kolomaznik
Datum: 01.01.16 10:00

Jdu se na to podívat, jinak ano derivace se brala na střední, ale jen ve volitelném předmětu ve čtvrtáku


doplněno 01.01.16 10:55:

Tak díky za pomoc, pomohlo, vyřešeno :D

Od: kolomaznik
Datum: 01.01.16 19:20

Tak koumám dále:

Když mám zadání:

Vypočítejte vzdálenost bodu [1,1] od přímky 2x - y + 3 = 0 užitím derivace funkce.

Postup je stejný? vyjádřím y, dosadím do té rovnice, zderivuju, položím rovno nule, kontrola pomocí druhé derivace, dopočítám zbylou souřadici a vypočítám vzdálenost d?

A co s tím bodem [1,1]?

Datum: 01.01.16 19:34
avatar
Do které rovnice budete dosazovat? Pokud zodpovíte tuto otázku, budete zároveň vědět, co s bodem [1,1].
Ohodnoceno: 0x
 
Od: kolomaznik
Datum: 01.01.16 19:45

http://www.matematika.cz/vzdalenost-bod-primka tenhle?

To je ale rychlejší než přes derivace ne?

Datum: 01.01.16 20:20
avatar

To jistě je a navíc je to elementární; to, že to máte počítat přes derivace, je zřejmě jen ze cvičných důvodů.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: kolomaznik
Datum: 01.01.16 20:32

Tomu už chápu, ale ještě bych se vrátil k tomu předchozímu příkladu

Dejme tomu že mám hyperbolu x2 - y2 + 4 = 0 a máme najít minimální vzdálenost bodů hyperboly od bodu [1,0]

Tady se použije jaký vztah?

Datum: 01.01.16 20:46
avatar

Nejprve se zeptám:: dělali jste už vázané extr=my?


doplněno 01.01.16 22:49:

Vázané extrémy jsou v podstatě to, co jsme právě dělali, prostě hledáme extrém funkce více (zde dvou) proměnných, které splňují nějakou vazbu. rovnici parabply, přímky... My jsme to převedli na extyrémy jedné proměnné, ptal jsem se proto, že v teorii vázaných extrémů se užívají i sofistivanější metody Lagrangeovy multiplikátory) Ale i zde to lze dělast stejně jako předtím.-

Ohodnoceno: 0x
 
Od: kolomaznik
Datum: 01.01.16 20:49

co si pamatuju tak jen lokální, globální. Vázané mi nic neříká.

Newím, tenhle typ ulohy už zadaný nemám, to jen pro mou zvědavost :D

Datum: 02.01.16 08:55
avatar

Vše jde bez derivace:

zjistit kánonický (středový tvar) rovnice paraboly - tedy souřadnice V vrcholu a parmetr p

pak do rovnice normály k parabole-dosadit souřadnice počátku.0,0 - .získáme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých a z nich nám vyjdou souřadnice bodu na parabole (průsečíku kolmice s parabolou)

a pak už jen vzálenost tohoto bodu od počátku..

je fakt, že to chce mít v ruce tabulky-ale zase je to lépe "vidět"..a není to tak abstraktní, jako výpočet pomocí lok. extrémů (ale na Univerzitě už to má student umět)


doplněno 02.01.16 11:03:

naučil jsem se ve škole používat tabulky (Bartsch --a tam vše je..i rovnice normály k parabole...

na střední škole ...normála je v tomto případě nejkratší vzdálenost..


doplněno 02.01.16 11:04:

do akademických debat se pouštět nebudu..

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 02.01.16 10:52
avatar

Zde vidím pár drobných problémů.

1. Když bez derivace, jak bez ní spočtete rovnici normály.

2. Co kdyý vám v daném bocě vyjdoe více normál

3. A last but not least, jak dokážete, že nejbližší bod je právě ta "pata normály"? (Ona to ostatně není vřdy pravda.)

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 02.01.16 14:09
avatar

Tak dobře, zkusme to aplikovat na náš případ; stejně jsem sliboval další rozbor.

Naše rovnice je

2x² - 2y - 9 = 0,

jejíž vrcholovy tvar bude(x²−0) = 2*½(y + 4,5)

tedy V = V[0;−4,5], p = ½ (osa paraboly je rovnoběžná s osouy y a parabola je otevřená nahoru – je konvexní).

Dále budu dříve či později potřebovat vzdálenost d počátku od obecného bodu paraboly, pro kterou platí

d =√(x²+y²) = [dosazením za y z rovnice paraboly] = √(x²+ (x²−4,5)²)

Zkusím nejprve cestu přes normálu. Je celkem jasné i bez počítání (ale vyjde to i vaším postupem ze vzorců), že normála k parabole, vedená počátkem, je osa y čili přímka x = 0. Vydálenost počátku od vrcholu paraboly je po dosazení rovna 4.5. To ale rozhodně není nejmenší vzdálenost, jak snadno zjistím tak, že do vzorce pro vzdálenost zkusmo dosadím průsečíky paraboly s osou x, což jsou body [± √4,5;0], jejichž vzdálenost od počátku je √4,5 ≈2,12, tedy méně.

Problám je totiž v tom, že tvrzení, že nejbližší bod leží normále, tak samozřejmé třeba pro vzdálenost bodu od přímky, pro nelineárné útvary obecně prostě neplatí; to není žádná akademická debata, ale fakt. Obecně je to poněkud složitější problém, ale konkrétně pro naši (konvexní) parabolu je podobná úvaha vpořádku pro body pod parabolou, kdežto pro body nad ní (vágně, byť nepřesně, bych řekl pro body uvnitř) může platit jen blízko paraboly. Nicméně korektní rozbor ukáže, že vrchol má v našem problému jakousi extremální roli, leč přímo opačnou.

K tomu se ale vrátím v dalším příspěvku, tohle bych už moc přetížil. Ale zatím poděkuji za odkaz na Bartschovy tabulky, konkrétně tyhle jsem neznal a stahl jsem si je.


doplněno 02.01.16 16:51:

Samozřejmě. podrobným rozborem najdeme další dvě normály, jdoucí počátkem. a ty už budou vyhovovat, ale jak vidno, opravdu to není tak jednoduché.

Ohodnoceno: 1x
 
Od: kolomaznik
Datum: 02.01.16 14:57

Kde jste je stáhnul?

Datum: 02.01.16 15:28
avatar

Zkuste mrknout na uložto.cz


doplněno 02.01.16 16:28:

Já jsem hledal jenom Bartsch

Ohodnoceno: 0x
 
Od: kolomaznik
Datum: 02.01.16 15:51

Tam jsem se díval, ale pod názvem Bartschovy tabulky jsem nic nenašel

Datum: 02.01.16 16:26
avatar

Teď se tedy vrátím k řešení úlohy pomocí extrémů.

Jak jsem psal, jde o to minimalizovat výraz d =√(x²+y²) přes všechny body naší paraboly, což jsme osazením převedli na problém extrémů funkce

d(x) = √(x²+ (x²−4,5)²)

pro reálné x. Při jeho řešení bychom měli tuto funkci derivovat, čili mj. derivovat odmocniny a složené funkce. To samozřejmě není problém, to bychom měli umět a vzniklé rovnice lze zjednodušit, ale přeci jen si to můžeme zjednodušit hned na začátku. Je-li vzdálenost minimální, je minimální i její kvadrát, takže stačí hledat extrémy funkce

f(x) = (x²+ (x²−4,5)²).Takže:

f(x) = x²+ (x²−4,5)² = x4 −8x²+20,25f’ = 4x³ −16x = 0, stacionární body jsou x1=0, x2= −2, x3= +2

f´´ = 12x²−16.

V bodě nula je druhá derivace záporná a funkce zde má lokální maximum (sic!), v bodech ±2 je druhá derivace rovna 32 a tedy kladná a to jsou hledané minimální body. Jsou to, přesněji, body lokálního minima a přísný matematk by ještě chtěl vědět, zda globální minimum vůbec existuje, ale ono je to vidět. Při zvětšujícím se |x| bude vzdálenost růst, takže jsme našli skutečně body globálního minima a jeho hodota bude √4,25 ≈2,06Teď to odešlu a pak se ještě vrátím k nějakým detajlům.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 02.01.16 17:05
avatar
Tak teď další poznámky.1. zkonstruuji li normály v extremálních bodech. také budou procházet počátkem , a konec koonců lze k nim dojít i zpětným postupem, navrženým @roman68. To je ten případ, který jsem měl na mysli, když jsem se ptal, co když bude normál více (zde jsou dokonce tři). Nicméně v zásadě cesta přes normály je schůdná, ale řekl bych, že potřebuji znát víc teorie, než pro průběh funkce.Za druhé, mohl bych zkoušet i jiná zjednodušení. Například bych mohl místo y spočítat a dosadit x, čímž bych dostal pro y jen kvadratickou rovnici, ovšem extrémy bych hledal jen pro y ≥ @minus;4,5 (a krom bodů s nulovou derivací bych musel vyšetřovat krajní bod).No a nakonec doplněním na čtverec x4 −8x²+20,25 = (x² @minus; 4)² +4,25 se úplně obejdu bez veškerého derivování a konstrukce tečen či normál; ihned vivím, že tento výrac bude nejmenší pro x² = 4
Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 03.01.16 19:29
avatar

chybky se vloudily,tak znovu:

Tak teď další poznámky.

1. zkonstruuji li normály v extremálních bodech. také budou procházet počátkem , a konec konců lze k nim dojít i zpětným postupem, navrženým @roman68. To je ten případ, který jsem měl na mysli, když jsem se ptal, co když bude normál více (zde jsou dokonce tři). Nicméně v zásadě cesta přes normály je schůdná, ale řekl bych, že potřebuji znát víc teorie, než pro průběh funkce.

Za druhé, mohl bych zkoušet i jiná zjednodušení. Například bych mohl místo y spočítat a dosadit x, čímž bych dostal pro y jen kvadratickou rovnici, ovšem extrémy bych hledal jen pro y ≥ −4,5 (a krom bodů s nulovou derivací bych musel vyšetřovat krajní bod).

No a nakonec doplněním na čtverec

d² = x^4−8x²+20,25 = (x² −4)² +4,25

se úplně obejdu bez veškerého derivování a konstrukce tečen či normál; ihned vivím, že tento výraz bude nejmenší pro

x² = 4

Ohodnoceno: 0x
 

 

 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.