Kto to zvladne tento inegral

První z kritickích příkladů se obecně počítá rozkladem na parciální zlomky; jen nepřečtu konkrétní cifry, není tam ve jmenovatelu absolutní člen 27?

Ve druhém zafunguje substituce tg x/2 = y

Teď ten jmenovatel chýpu ještě mí%n. Něco vám tam vypadlo, při nejmenším. Problém je v tom, že k řešení je třeba najít nukové body jmenovatele, a k tomu by bylo třeba znát ho přesně.

Tak ted je to jasné, ale bohuzel trochu problematické. Principiálně zůstává ta cesta přes rozklad a kdyby na konci jmenovatele byla 27, šlo by to celkem bez problémů realizovat (proto jsem se na to ptal; ono to dost vypadalo na devěta dvacífku, ale jist jsem si nebyl – můte to dobře opsáno?) . V této podobě to sice teoreticky jde, ale od pohledu nevidím, jak na to. Takže se ještě podívám, není-li tam skrifá finta, aale nevím, nevím.

Zkuste aspoň tu substituci.

To je docela pravděpodobné. Pak by se jmenovatel upravil takto:

x³ − 3x² − 9x + 27 = x² (x−3) −9(x−3) =9 (x−3)*(x²−9) = 9 (x−3)² (x+3) a z toho už není problém odvodit rozklad na parciální zlomky; zvládnete to?

Pokud by tam byla 39, jeden z kořenů by byl jako na přiložeém obrázky (viz folfram alfa) a s tím by se dost těžko pracovalo; pochybuji, že by to někdo takhle zadal.

Tak možná bychom se mohli bavit o těch jednoduččích, ale když uř jste se ptal na tenhle, pojďme na něj (třeba vám zpětně pomuže i u těch lehčích.´

Bydu tedy předpokládat tvar jmenovatele

x³ − 3x² − 9x + 27 ,

který upravím následovně (to uý jsem psal, ale dopustil jsem se přepisu; taky tu úpravu předvedu podrobněji):

x³ − 3x² − 9x + 27 =x² (x−3) −9(x−3) = (x−3)*(x²−9) = (x−3)*(x−3)* (x+3) = (x−3)² (x+3).

To umožní rozklad xlomku na parciální zlomky. To jste si jistě říkali, tak o tom nebudu mluvit obecně (to si najděte v přednáškách), jen uvedu, že v tomto konkrétním případě rozklad integrandu na parciální zlomky vypadá takto:

(x−33) /[x³ − 3x² − 9x + 27] = A/ (x−3) + B / (x−3)² +C /(x+3),

kde A,B,C jsou (zatím neeznámá ) reální řísla. Ta čísla určíme metodou neurčitých koeficientů; studovanou rovnost vynásobíme společným jmenovatelem, roznásobíme a porovnáme koeficienty u stejných mocnin (jde to i jinak, určitě jste si to říkali). Tak to nejdříve zkuste sám, já to teď odešlu, dřív než to omylem smažu a vrátím se později.

Tak pojďme dál.

Máme určit A, B a C ze vztahu

(x−33) /[x³ − 3x² − 9x + 27] = A/ (x−3) + B / (x−3)² +C /(x+3)

Vynásobíme společným jmenovatelem, tedy výrazem

[x³ − 3x² − 9x + 27] = (x−3)² (x+3):x−33 = A*(x−3)(x+3) + B*(x+3) + C*(x−3)² Konstanty A,B.C lze určit například tak, že pravou stranu roznásobíme a porovnáme koeficienty u stejných mocnin na obou stranách; dostaneme soustavu rovnic, kterou vyřešíme-Předvedu jinou cestu:nejprve dosadíme x =3 a dostaneme−30 = 6B, B = −5Nyní dosadíme x = −3 a dostaneme−36 = 36C, C = −1Dalčí volba, při kdteré by se totho hodně anulovalo, už není k disposici- Ale když dosadím za C, B právě vypočtené hodnoty, dostanu vztahx−33 = A*(x−3)(x+3) +−5(x+3) −(x−3)², do kterého mohu dosadit za x cokoli, nejlépe x =0:−33 = −9A −15 −9výpočet už nechám na vás. No a když pod integřítko napíšu tenhle rozklad, již to snadno zintegruji; nebo ne?