Slovní úloha

V maximu je derivace nulová. Takže namalovat si obrázek

6. napsat vzorec pro objem válce poloměru a a výšky h. Vyjádřit h jako funkci průměru koule a poloměru a a dosadit do vzorce pro objem válce. Zderivovat, derivaci položit rovnou nule a spočítat a.

9. napsat vzorec pro obsah lichoběžníku o základnách a a b a výšce h. Vyjádřit b jako funkci a a h, dosadit do vzorce pro obsah lichoběžníku. Zderivovat podle h, derivaci položit rovnou nule a spočítat h.

Rada rv je dobrá a měla by stačit. Nicméně navrhnu ještě nějaká ulehčení, zatím pro příklad 6.

ZA prvé: vzorec pro objem bude vypadat nějak jako a²(5−a)½ (samozřejmě ne púplně, minimálně tam jistě postrádáte nějaké to pí, jde o radu, ne o výpočet) a při derivování musíté derivovat odmocninu. Chcete-li se tomu vyhnout, stačí si uvědomit, že když je maximální objem, je maximální i jeho druhá mocnina, a tak můžeme tento výraz umocnit na druhou a derivovat polynom.

ZA druhé, zbavili jsme se tak odmocnin, ale zase dostaneme algebraickou rovnici čtvrtého stupně. Sice zvládnutelnou, ale můžeme se jí jednoduše vyhnout, kdyý označíme a² = b a derivujeme podle b (proč to jde?)

no a ZA třetí, po tom kroku jedna se můýeme derivování vyhnout úplně. Platí totiž věta, že geometrický průměr je vždy nejvýše roven aritmetickému a rovnost nastává právě tehdy, když čísla, jejichž průměr počítáme, jsou si rovna. Takže rada zní: vyšetřujte průměry čísel a², a² a (5−a), Jestliže poslední výraz zdvojnásobíte, změní se velikost maxima, ale ne velikost poloměru a, pro nějž maximum hledáme: zato aritmatický průměr nebude už na a záviset.