Definiční obor 1

Mas e^x mensi nez 2

Zlogaritmujes obe strany rovnice (prirozeny logaritmus - kartaginec to ukazoval na dekadickem)

ln e^x mensi nez ln2

ln e^x = x ln (e) = x.1 = x

Vysledek: x mensi nez ln(2).

@kartaginec to ma - jako vzdycky - spravne.

Uprimne receno ted nevim co s tim. Uvidime s cim prijde @kartaginec .

Ze zapisu e^x ≥ -1 plyne, ze resenim jsou vsechna x od minus nekonecna do plus nekonecna (e=2,7..., takze mame graf funkce 2,7^x, ktery lezi mezi grafy funkci 2^x a 3^x, ktere oba lezi kompletne nad osou y).

Po tom zlogaritmovani ale vyjde x ≥ ln(-1) , kde je ten nedefinovany logaritmus zaporneho argumentu.

Zkusim o tom popremyslet pozdeji s cistou hlavou. Nekde totiz delam logickou chybu (zrejme podminky provedeni operace na obou stranach (ne)rovnice ).

Napada me provezt vypocet definicniho oboru funkce pred jejim pouzitim na obe strany a mas pripad se rozpadne na 2 podulohy: -1 ≤ e^x ≤ 0 a druha poduloha e^x vetsi nez 0).

Prvni poduloha nedava reseni, protoze v ni funkce ln neni definovana a druha dava reseni "x vetsi nez minus nekonecno", coz samo o sobe vypada divne a navic asi neobsahuje i spravne reseni x=minus nekonecno).

Budu o tom jeste premyslet.

Tady jistě logaritmovat nemůžete. Logaritmus nám zde slouží k tomu, aby chom dostali x z exponentu a mohli s ním dále pracovat. Monotonie logaritmu pak pomůže porovnat hodnoty z jeho definičního oboru, přesněji, z oboru, na němž je monotonní (což u logaritmu je celý jeho definiční obor, u jiných funkcí tomu tak být nemusí). Čili, pokud mám dvě hodnoty x , y z def. oboru logaritmu (se základem větším neř jedna), pak x je menší než y právě tehdy, když ln x je menší mež ln y- Tedy protože e^x je z def. oboru logariymu a y = 1 taky. tak e^x je větší (menší, rovno ) 1 právě tehdy, když x je větší (menší, rovno) ln 1 = 0 (přirozený logaritmus je na svém def. oboru monotonní a to nejen neklesající, ale přímo rostoucá (jinými slovy ryze monotonní a to rostoucí).

kdybychom chtěli porovnávat třeba x² s patnácti pro x kladné, sice bychom teoreticky mohli zlogaritmovat, neboť kladná čísla lze logaritmovat, ale tady nemáme x v exponentu a moc by nám to nepomohlo; tady bychom raději odmocnili (x předpokládáme kladné)

No a chceme-li porovnávat e^x s −1, tak tady by se nám sice logaritmus hodil kvůli té exponenciále, ale protože mínus jednu logaritmovat nelze, tak tuto metonu použít prostě nemůžeme. a musíme hledat jiné cesty. A ty jsme našli: e^x je vždy kladné a tím spíše je větší než minua jedna a není co řešit. (To je základní vlastnost exponenciální funkce, ale byl bych opatrný s tím, že leží mezi 2^x a 3^x, to je sice pravda pro x ≠ o (nultá mocnina je vždy rovna jedné), ale pro x klandé je e^x větší než 2^x a menší než 3^x, ale pro záporné x si obě vymezující funkce vymění své role. To by ovšem nevadilo, i tak by udržely exponenciálu nad osou y, ale proč nyslíte, že kladnost těchto funkcí je jednodušší než kladnost exponenciály.

pokud mám dvě hodnoty x , y z def. oboru logaritmu (se základem větším neř jedna), pak x je menší než y právě tehdy, když ln x je menší mež ln y
Takhle podobne jsem o tom take premyslel. Zajimave, ze doted jsem na potrebu o tom takhle premyslet jeste nenarazil a to pritom rutinně provadim i slozitejsi operace na obou stranach rovnice Asi jsem mel stesti, ze jsem se vzdy trefil do definicniho oboru a useku, kde byly funkce monotonni.

Tedy protože e^x je z def. oboru logariymu a y = 1 taky
Z tohoto duvodu jsem rozdelil tu nerovnici na 2 podulohy - prvni pro interval, kde nelze funkci ln pouzit a druhou pro interval, kde je jiz logaritmus definovan.

Stale ale zapasim se spravnym zapisem toho "x je vetsi nez ln(0)" (logicky i vypočetně limitně k nule zprava to vychází).

byl bych opatrný s tím, že leží mezi 2^x a 3^x
Vim, ze se ty funkce kříží. Já to psal ve smyslu, že ty funkce tvori obalku (tj.hranici), za kterou e^x nejde. Asi to je ale spise technicky zpusob vyjadrovani nez matematický.

proč nyslíte, že kladnost těchto funkcí je jednodušší než kladnost exponenciály
To nebylo o "lepsi kladnosti" tech funkci, ale o tom, ze lidi bud vi, jak grafy 2^x a 3^x vypadaji nebo si dokazi rychle par hodnot jednoduse spocitat a nakreslit si jejich grafy. Funkce e^x je pak mezi nimi a jeji presny prubeh neni podstatny.

Jinak s tou monotonií – to děláte vcelku automaticky, já taky, akorát že jako správný matematický hnidopich, co hledá na dlani chlup, potřebuji znát exaktní zdůvodnění. Ono jde taky o to, nepoplést směr monotonie. Třeba když když ze vztahu x menší než y budu chtít usuzovat na vztah mezi jedna lomeno x a jedna lomeno y (tedy mezi převrácenými hodnotami), kdy vlastně užívám funkci 4/x.

Ono jde taky o to, nepoplést směr monotonie.
Parada - ted u vsech nerovnic budu muset jeste na intervalu, ktery me zajima, tu funkci derivovat, abych zjistil jeji monotonnost

Nejak ten konec zmizel

2-e^x > 0 → e^x < 2 → x < ln(2)

r)

-x > 0 → x < 0