Definiční obor 1

Od: Datum: 30.10.15 15:31 odpovědí: 16 změna: 03.11.15 05:41

Zdravím, mám problém s řešením:

o) ln(2-e^x) se nesmí rovnat nule

ln1 se nesmí rovnat nule tzn. 2-e^x se nesmí rovnat nule tzn. x se nesmí rovnat nule

2-e^x> 0 e^x <2

a pak výraz pod odmocninou>= 0 e^x>= 0,5

p) x>0

lnx> 0 tzn. x>1

a pak ln(lnx)>0 newím co dál

r) odmocninu z 5+x mám, ale newím co s tím ln(-x)



Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Od: ctenar
Datum: 31.10.15 09:25

o)

tzn. 2-e^x se nesmí rovnat nule

Chyba! 2-e^x se nesmí rovnat jedne

ln(2-ex) ≠ 0 → 2-ex ≠ 1 → ex ≠ -(1/2) → x ≠ ln(-1/2)

2ex-1 ≥ 0 → ex ≥ 1/2 → x ≥ ln(1/2)

p) ln (ln(x))> 0 → ln(x)>1 → x> e


doplněno 31.10.15 09:34:

Mam tam chybu *zed*

ln(2-ex) ≠ 0 → 2-ex ≠ 1 → ex ≠ 1 → x ≠ ln(1) & rarr; x ≠ 0

a dalsi podminka ve jmenovateli je 2-ex> 0 → ex <2 → x

Ohodnoceno: 0x
 
Od: junkie
Datum: 31.10.15 11:28

anoo ex <2 a jak z tama dostanu x?

Od: ctenar
Datum: 31.10.15 11:53

Nejak ten konec zmizel :(

2-e^x> 0 → e^x <2 → x

r)

-x> 0 → x <0


doplněno 31.10.15 11:57:

Porad se ten konec umazava *ee*

e^x <2 → x
doplněno 31.10.15 11:58:

*bum*

x mensi nez ln(2)

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 31.10.15 12:01
avatar
Zlogaritmováním, logaritmus je funkce monotonní, oři základu větčím neř jedna (dekadický logarotmucú pžímo rostoucí, takže takže ex
Ohodnoceno: 0x
 
Od: junkie
Datum: 31.10.15 14:45

aha takže zlogarotmuju e^x na lnx?

A tu dvojku tu taky?

Datum: 31.10.15 16:31
avatar
Pochopil jste mne, i když můj příspěvek je neuplný: Ono se mi tam něco ztrarilo z formátování, to se občas stane, když se v textu vyskytne menšítko. Takže ještě jednou, ale s vaším dovolením pouřiji neostré menšítko ≤ a bude to znamenat ostže menší. (Zároveň opravím překlepy.) On to sice píše taky čtenář, ale koukám, že s tím má taky problémy. Takže: Zlogaritmováním, logaritmus je funkce monotonní, při základu větším než jedna (dekadický logarotmus) přímo rostoucí, takže e^x ≤ 2 je totéž, jako log e^x ≤ log 2, čili x*log e ≤ log 2. (čti "menší než")Použijete-li místo degadického logaritmu log přirozený logaritmus ln. dostanetex ≤ ln 2 (jak se to podařilo nakonec zapsat slovy i čtenáři).P.S. mohu se off topic zeptat, odkud jste? (" jak z tama dostanu")
Ohodnoceno: 0x
 
Od: rv
Datum: 31.10.15 16:37

Co kdybyste uvedl celé zadání. Nemáte náhodou určit definiční obor pro x;x

Ohodnoceno: 1x
 
Od: junkie
Datum: 31.10.15 18:31

Dobrá tedy znovu: definiční obor: sqrt ( 2*e^x - 1) / ln (2-e^x)

ln (2-e^x)≠0 z toho mi vyšlo x≠0

pod odmocninou 2*e^x -1 ≥0 z toho mi vyšlo e^x ≥ 1/2

a 2-e^x>0 z toho e^x<2

Jinak jak Kartaginec píše že ze dvojky udělám log2 tomu nerozumím. Nemá to být spíš 2log10?

Od: ctenar
Datum: 31.10.15 22:44

Mas e^x mensi nez 2

Zlogaritmujes obe strany rovnice (prirozeny logaritmus - kartaginec to ukazoval na dekadickem)

ln e^x mensi nez ln2

ln e^x = x ln (e) = x.1 = x

Vysledek: x mensi nez ln(2).

@kartaginec to ma - jako vzdycky - spravne.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: junkie
Datum: 01.11.15 10:05

Už to chápuu.

a když budu mít nerovnici (1 - e^x)/2 ≤ 1

tak dostanu e^x ≥ -1

tak mám taky zlogaritmovat? ln (-1)?

Od: ctenar
Datum: 01.11.15 11:56

Uprimne receno ted nevim co s tim. Uvidime s cim prijde @kartaginec .

Ze zapisu ex ≥ -1 plyne, ze resenim jsou vsechna x od minus nekonecna do plus nekonecna (e=2,7..., takze mame graf funkce 2,7x, ktery lezi mezi grafy funkci 2x a 3x, ktere oba lezi kompletne nad osou y).

Po tom zlogaritmovani ale vyjde x ≥ ln(-1) , kde je ten nedefinovany logaritmus zaporneho argumentu.

Zkusim o tom popremyslet pozdeji s cistou hlavou. Nekde totiz delam logickou chybu (zrejme podminky provedeni operace na obou stranach (ne)rovnice *nevi*).


doplněno 01.11.15 12:05:

Napada me provezt vypocet definicniho oboru funkce pred jejim pouzitim na obe strany a mas pripad se rozpadne na 2 podulohy: -1 ≤ ex ≤ 0 a druha poduloha ex vetsi nez 0).

Prvni poduloha nedava reseni, protoze v ni funkce ln neni definovana a druha dava reseni "x vetsi nez minus nekonecno", coz samo o sobe vypada divne a navic asi neobsahuje i spravne reseni x=minus nekonecno).

Budu o tom jeste premyslet.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: junkie
Datum: 01.11.15 15:18

by mě zajímalo jak by to vyřešil Kartaginec

 

Datum: 01.11.15 18:37
avatar

Tady jistě logaritmovat nemůžete. Logaritmus nám zde slouží k tomu, aby chom dostali x z exponentu a mohli s ním dále pracovat. Monotonie logaritmu pak pomůže porovnat hodnoty z jeho definičního oboru, přesněji, z oboru, na němž je monotonní (což u logaritmu je celý jeho definiční obor, u jiných funkcí tomu tak být nemusí). Čili, pokud mám dvě hodnoty x , y z def. oboru logaritmu (se základem větším neř jedna), pak x je menší než y právě tehdy, když ln x je menší mež ln y- Tedy protože e^x je z def. oboru logariymu a y = 1 taky. tak e^x je větší (menší, rovno ) 1 právě tehdy, když x je větší (menší, rovno) ln 1 = 0 (přirozený logaritmus je na svém def. oboru monotonní a to nejen neklesající, ale přímo rostoucá (jinými slovy ryze monotonní a to rostoucí).

kdybychom chtěli porovnávat třeba x² s patnácti pro x kladné, sice bychom teoreticky mohli zlogaritmovat, neboť kladná čísla lze logaritmovat, ale tady nemáme x v exponentu a moc by nám to nepomohlo; tady bychom raději odmocnili (x předpokládáme kladné)

No a chceme-li porovnávat e^x s −1, tak tady by se nám sice logaritmus hodil kvůli té exponenciále, ale protože mínus jednu logaritmovat nelze, tak tuto metonu použít prostě nemůžeme. a musíme hledat jiné cesty. A ty jsme našli: e^x je vždy kladné a tím spíše je větší než minua jedna a není co řešit. (To je základní vlastnost exponenciální funkce, ale byl bych opatrný s tím, že leží mezi 2^x a 3^x, to je sice pravda pro x ≠ o (nultá mocnina je vždy rovna jedné), ale pro x klandé je e^x větší než 2^x a menší než 3^x, ale pro záporné x si obě vymezující funkce vymění své role. To by ovšem nevadilo, i tak by udržely exponenciálu nad osou y, ale proč nyslíte, že kladnost těchto funkcí je jednodušší než kladnost exponenciály.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: ctenar
Datum: 02.11.15 01:10

pokud mám dvě hodnoty x , y z def. oboru logaritmu (se základem větším neř jedna), pak x je menší než y právě tehdy, když ln x je menší mež ln y
Takhle podobne jsem o tom take premyslel. Zajimave, ze doted jsem na potrebu o tom takhle premyslet jeste nenarazil a to pritom rutinně provadim i slozitejsi operace na obou stranach rovnice *sok* Asi jsem mel stesti, ze jsem se vzdy trefil do definicniho oboru a useku, kde byly funkce monotonni.

Tedy protože e^x je z def. oboru logariymu a y = 1 taky
Z tohoto duvodu jsem rozdelil tu nerovnici na 2 podulohy - prvni pro interval, kde nelze funkci ln pouzit a druhou pro interval, kde je jiz logaritmus definovan.

Stale ale zapasim se spravnym zapisem toho "x je vetsi nez ln(0)" (logicky i vypočetně limitně k nule zprava to vychází).

byl bych opatrný s tím, že leží mezi 2^x a 3^x
Vim, ze se ty funkce kříží. Já to psal ve smyslu, že ty funkce tvori obalku (tj.hranici), za kterou ex nejde. Asi to je ale spise technicky zpusob vyjadrovani nez matematický.


doplněno 02.11.15 01:21:

proč nyslíte, že kladnost těchto funkcí je jednodušší než kladnost exponenciály
To nebylo o "lepsi kladnosti" tech funkci, ale o tom, ze lidi bud vi, jak grafy 2x a 3x vypadaji nebo si dokazi rychle par hodnot jednoduse spocitat a nakreslit si jejich grafy. Funkce ex je pak mezi nimi a jeji presny prubeh neni podstatny.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 02.11.15 13:24
avatar
Tak já vám nevyčítal, že se ty dva grafy kříží, taky jsem napsal, že to nevadí. Do textu jsem situaci posal pro úplnost a proto, že jsem ukecaný. Ale stále si myslím, ře je to zbytečné, ne kvůli nějaké "lepší kladnosti" (to bych si napsat netroufl, uý proto, že nevím, co by to mělo znamenat.Řeknu to jinak: proč myslíte, že lidi vědí, že 2^x je kladné a nevědí to o e^x? To jsou prostě naprosto rovnocenná tvrzení, zejména co do důkazu (ano, některé mocniny dvojky spočtu snáze než některé mocniny e; no a?). Takže asi tak.A s tím správným zápisem toho "x je vetsi nez ln(0)" si nedělejte vrásky. To prostě správně zapsat nejde, protože logaritmus nuly není definován. Nanejvýš byste mohl napsat x je větší než limita logaritmu y pro y jdoucí k méně nekonečno, ale k ničemu to nepotřebujete. (Jen pro zajímavost, v oboru komplexních funkdí lze přiřadit logaritmus i záporným číslům, ale takováto funkce byde mnohoznašná (tedy nebude to funkce v klasickém smyslu, stejně jako pomazánkové máslo není máslo , nemúžeme na ni aplikovat nerovnosti a, last but not least, nula je jediné komplexní číslo, pro která nelze jeho komplexní logaritmus definovat.
doplněno 02.11.15 14:03:

Jinak s tou monotonií – to děláte vcelku automaticky, já taky, akorát že jako správný matematický hnidopich, co hledá na dlani chlup, potřebuji znát exaktní zdůvodnění. Ono jde taky o to, nepoplést směr monotonie. Třeba když když ze vztahu x menší než y budu chtít usuzovat na vztah mezi jedna lomeno x a jedna lomeno y (tedy mezi převrácenými hodnotami), kdy vlastně užívám funkci 4/x.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: ctenar
Datum: 03.11.15 05:41

Ono jde taky o to, nepoplést směr monotonie.
Parada - ted u vsech nerovnic budu muset jeste na intervalu, ktery me zajima, tu funkci derivovat, abych zjistil jeji monotonnost ;)

Ohodnoceno: 0x
 

 

 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.