Limita příklad

Chyba, které jste se dopustil, má dokonce své jméno; říká se jí "částečné zlimitění". První úprava ( vytčení x zpod odmocniny) je celkem vpořádku, i když nám moc nepomůže. Ale následně jste zlimitil ten výra pod odmocninou, ale x před odmocninou jste si nechal na později. To nemůžete, k tomu nemáte oporu v žádné větě o limitách.

Možná ještě markantněji je to vidět, kdybyste ještě vytkl x z obou členů součtu. Představte si, že provedete tu svou první (správnou) ůpravu, pak ještě v tom druhém členu odmocníte x, ale to ostatní, co máte v odmocnině (tedy 9 – 1/10x + 1/x²) necháte pod odmocninou beze změny, já pro stručnist tu odmocninu i s tím, co odmocňujete, označím A. Procujete tedy s výrazem

3x –x*A.

To budu upravovat: 3x –x*A = x*(3–A). Limita A je 3¨,. ale nesmíte psát lim x*(3–A)=x*limA = lim (x*0) = 0. to je právě to částečné zlimitovámí. Věta, o kterou byste se měl opřít, je věta o limitě součinu, která má dvě nedílné součásti, totiž vzorec a předpoklady, za nichž platí; v našem případě zní

lim [x*A ] = (lim x)*(lim A). (toje ten vzorec), pokud (a ted přijdou podmínky) lim x i lim A existují a jejich součin má smysl. Čili znovu, nemůžete si nejdřív udělat jednu limitu a tu druhou si nechat napotom. A když náš příklad rozebereme, zjistíme, že obě potřebné limity sice existují, ale jedna je nulová, druhá nekonečná a nula krát nekonečno nemá smysl (někdy mluvíme o neurčitém výrazu, ale to je taky trochu nepřesné, zkratkovité vyjádření, tak to teď nebudu rozebírat). Tedy podmínky nejsou splněny a věta je nepoužitelná (tedy ne, že neplatí, ale nemúžeme z ní nic vyčíst).

Tolik k chybě, kterou jste udělal. Správnému postupu věnuji další odpověď (pokud se mezitím neozve někdo jiný).

Takže teď bych se vrátil ke správnému řešení. Ano, měl byste znát nějaké obecné postupy; schválně používám množné číslo, protože jeden univerzální postup neznám. Na něco podobného jste se už ptal a nedovedl jsem vám poradit. Tohle je ale konkrétní příklad a o tom se pobavit můžeme.

To je výraz typu lim [√ A(x) − √ B(x)] . Pokud existují limity lim A(x) = A, lim B(x)=B a výraz √A − √ B má smysl, pak existuje i hledaná limita a rovná se tomuto výrazu, Problém nastane, když A i B jsou nekonečna, protože nekonečno mínus nekonečno smysl nemá (někdo řekne, že je to neurčitý výraz typu nekonečno mínus nekonečno). Pak zkoušíme tento postup: [√ A(x) − √ B(x)] vynásobáme a vydělíme (tedy rozšíříme) výrazem [√ A(x)+√ B(x)]. Dostaneme výraz [A(x) − B(x)] / [√ A(x) − √ B(x)] , kde v čitateli odmocnimy zmizely a to může pomoci. Zatím si to zkuste, já konkrétní řešení napíšu zase do další odpovědi, abych text nepřetěžoval.

Uprav tak, aby pod odmocninou byl výraz (1 - ...). Pak rozepiš jen do prvního členu dle vztahu odm(1-x) = 1- x/2 (to platí pro x blízké nule, což tady platí. A vyjde 5/3

to platí pro x blízké nule, což tady platí.
"x" neni vubec blizke nule. Prave naopak - je zadano, ze "x" je nekonecno.

rozepiš jen do prvního členu dle vztahu odm(1-x) = 1- x/2
On ma vysledek spocitat, ne priblizne odhadnout, coz tento oriznuty rozvoj odmocniny do polynomu dela.

Pardon, tedy podrobněji, ať někoho nematu.

Uprav tak, aby pod odmocninou byl výraz (1 - ...). Pak rozepiš jen do prvního členu dle vztahu odm(1-y) = 1- y/2 (to platí pro y blízké nule, což tady platí. A vyjde 5/3.

Sakra, to byla chyba na moji strane s tim "x". V te rychlosti jsem si neuvedomil, ze toto "x" neni to same jako "x" ze zadani.

To nicmene neresi ten problem s nahradou jedne funkce za jeji polynomialni aproximaci, navic jeste zkracenou (tj. zamerne pribliznou).

V tomto konkretnim pripade to nema vliv na vysledek, ale to je jen nahoda.

No, primárně je to chyba na straně rv, Šetřfe si hlavu, ještě se vám může hodit

Na duhou stranu je pravda, že pokud tyhle všechny tyhle věci umím, je vaše cesta nejrychlejší, a i když to někdou neumí, lze mu na tomto postupu zkusit objasnit (ne vypočítat), proč ta limita vyjde právě tolik a jak ten mechanismus vlastně vnitřně funguje.