Limita příklad

Od: Datum: 18.10.15 12:53 odpovědí: 9 změna: 19.10.15 23:14

Poradil by mi někdo zda tento příklad řeším špatně? mne vychází 0 dle výsledků to je 5/3..

Obecně nevlastní limity řeším tak, že vždy vytýkam číslo s největším exponentem, dostávám typové limity dle kterých počítám.. Nejspíše dělám chybu v tom že to nepřevádím jen na součet a rozdíly neznámých ale mám tam i násobení...Potřeboval bych asi nějáký obecný postup jak limity řešit.. ať už vlastní či nevlastní..

Díky moc za rady!



Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Datum: 18.10.15 15:37
avatar

Chyba, které jste se dopustil, má dokonce své jméno; říká se jí "částečné zlimitění". První úprava ( vytčení x zpod odmocniny) je celkem vpořádku, i když nám moc nepomůže. Ale následně jste zlimitil ten výra pod odmocninou, ale x před odmocninou jste si nechal na později. To nemůžete, k tomu nemáte oporu v žádné větě o limitách.

Možná ještě markantněji je to vidět, kdybyste ještě vytkl x z obou členů součtu. Představte si, že provedete tu svou první (správnou) ůpravu, pak ještě v tom druhém členu odmocníte x, ale to ostatní, co máte v odmocnině (tedy 9 – 1/10x + 1/x²) necháte pod odmocninou beze změny, já pro stručnist tu odmocninu i s tím, co odmocňujete, označím A. Procujete tedy s výrazem

3x –x*A.

To budu upravovat: 3x –x*A = x*(3–A). Limita A je 3¨,. ale nesmíte psát lim x*(3–A)=x*limA = lim (x*0) = 0. to je právě to částečné zlimitovámí. Věta, o kterou byste se měl opřít, je věta o limitě součinu, která má dvě nedílné součásti, totiž vzorec a předpoklady, za nichž platí; v našem případě zní

lim [x*A ] = (lim x)*(lim A). (toje ten vzorec), pokud (a ted přijdou podmínky) lim x i lim A existují a jejich součin má smysl. Čili znovu, nemůžete si nejdřív udělat jednu limitu a tu druhou si nechat napotom. A když náš příklad rozebereme, zjistíme, že obě potřebné limity sice existují, ale jedna je nulová, druhá nekonečná a nula krát nekonečno nemá smysl (někdy mluvíme o neurčitém výrazu, ale to je taky trochu nepřesné, zkratkovité vyjádření, tak to teď nebudu rozebírat). Tedy podmínky nejsou splněny a věta je nepoužitelná (tedy ne, že neplatí, ale nemúžeme z ní nic vyčíst).

Tolik k chybě, kterou jste udělal. Správnému postupu věnuji další odpověď (pokud se mezitím neozve někdo jiný).

Ohodnoceno: 5x
 
Datum: 18.10.15 17:02
avatar

Takže teď bych se vrátil ke správnému řešení. Ano, měl byste znát nějaké obecné postupy; schválně používám množné číslo, protože jeden univerzální postup neznám. Na něco podobného jste se už ptal a nedovedl jsem vám poradit. Tohle je ale konkrétní příklad a o tom se pobavit můžeme.

To je výraz typu lim [√ A(x) − √ B(x)] . Pokud existují limity lim A(x) = A, lim B(x)=B a výraz √A − √ B má smysl, pak existuje i hledaná limita a rovná se tomuto výrazu, Problém nastane, když A i B jsou nekonečna, protože nekonečno mínus nekonečno smysl nemá (někdo řekne, že je to neurčitý výraz typu nekonečno mínus nekonečno). Pak zkoušíme tento postup: [√ A(x) − √ B(x)] vynásobáme a vydělíme (tedy rozšíříme) výrazem [√ A(x)+√ B(x)]. Dostaneme výraz [A(x) − B(x)] / [√ A(x) − √ B(x)] , kde v čitateli odmocnimy zmizely a to může pomoci. Zatím si to zkuste, já konkrétní řešení napíšu zase do další odpovědi, abych text nepřetěžoval.

Ohodnoceno: 3x
 
Datum: 18.10.15 17:43
avatar
Ted konkretní řešení: ve vašem příkladu je sice první člen bez odmocniny, ale můžeme si ho představit jako odmocninu z druhé mocniny. Takže upravuji (zatím bez limit).[3x − √(9x² − 10x + 1) ]= [3x − √(9x² − 10x + 1) ]*[3x + √(9x² + 10x + 1) ]/[3x + √(9x² − 10x + 1) ] = [9x² − (9x² − 10x + 1) ]/[3x + √(9x² − 10x + 1) ] = [ 10x − 1) ]/[3x + √(9x² − 10x + 1) ] tenhle výraz už bez problémů upravíme metodou vytýkání nejvyšší mocniny. Sice i čitatel, i jmenovatel má za limitu nekonečno, ale po om vytčení se x zkrátí a se zbytkem si poradíte.Doufám, ž tenhle typ je objasněn. Podobně se pracuje třeba s rozdílem třetích odmocnin, jen výraz, kterým rozčiřujeme, je složitější (musíme využit vzorce pro rozdíl trřetích mocnin).
Ohodnoceno: 3x
 
Od: rv
Datum: 19.10.15 19:36

Uprav tak, aby pod odmocninou byl výraz (1 - ...). Pak rozepiš jen do prvního členu dle vztahu odm(1-x) = 1- x/2 (to platí pro x blízké nule, což tady platí. A vyjde 5/3

Ohodnoceno: 1x
 
Od: ctenar
Datum: 19.10.15 20:17

to platí pro x blízké nule, což tady platí.
"x" neni vubec blizke nule. Prave naopak - je zadano, ze "x" je nekonecno. ;)

rozepiš jen do prvního členu dle vztahu odm(1-x) = 1- x/2
On ma vysledek spocitat, ne priblizne odhadnout, coz tento oriznuty rozvoj odmocniny do polynomu dela.

Ohodnoceno: 1x
 
Od: rv
Datum: 19.10.15 20:35

Pardon, tedy podrobněji, ať někoho nematu.

Uprav tak, aby pod odmocninou byl výraz (1 - ...). Pak rozepiš jen do prvního členu dle vztahu odm(1-y) = 1- y/2 (to platí pro y blízké nule, což tady platí. A vyjde 5/3.

Ohodnoceno: 2x
 
Od: ctenar
Datum: 19.10.15 22:31

Sakra, to byla chyba na moji strane s tim "x". V te rychlosti jsem si neuvedomil, ze toto "x" neni to same jako "x" ze zadani.*zed*

To nicmene neresi ten problem s nahradou jedne funkce za jeji polynomialni aproximaci, navic jeste zkracenou (tj. zamerne pribliznou).

V tomto konkretnim pripade to nema vliv na vysledek, ale to je jen nahoda.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 19.10.15 23:14
avatar

No, primárně je to chyba na straně rv, Šetřfe si hlavu, ještě se vám může hodit *smich*

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 19.10.15 23:09
avatar
Tak to první, tedy mylné použití x, které jiřž bylo vyhrazeno pro něco jiného, jste opravil. Ale to byla prkotina, sice ji správně čtenář vytkl jako chybu, protože chyba to je a ne že ne, ale smysl byl pochopitelný. Ale s tou druhou námitkou, totiž "On ma vysledek spocitat, ne priblizne odhadnout, coz tento oriznuty rozvoj odmocniny do polynomu dela"jste se nejen nevypořádal, vy jste se na ni prostě vykašlal. A dovolím si přidat ještě jenu námitku: Kde jste vzal, že pro malá y platí (1-y) = 1- y/2?Rozeberne si to trichu, Za prvé to samozřejmě neplatí; rovnost platí jen pro y = 0. Ale dobře, nebudu hnidopich a odsouhlasím vám, že to platí přibližně; přesneji platí (1-y) = 1- y/2 + o(y). To by nakonec stačilo, ale znovu: jak to víte? A ještě podstatnější je, jak to ví tazatel a zda to vůbec ví? Z vašeho textu to vypadá, že vy sám to chápete jako částečný sooučet Taylorovy řady, jejíž znalost bych v tomto stadiu studia opravdu, při vší úctě, od tazatele neočekával. Pravda, nemusíme na to jít přes Taylora, ale toto tvrzení je vlastně ekvivalentní tomu, že 1 − y/2 je totální diferenciál té odmocniny, takže jednodušeji to uř neodvodíme, a myslím, že i tak je vaěe rada nad síly tazatele, čili že je zbytečná. (A to ani nemluvím o tom, že pro zcela korektní řešení touto cestou by musel umět pracovat se symbolem malé o a dokázt, že y = o(1/x) )
doplněno 20.10.15 10:00:

Na duhou stranu je pravda, že pokud tyhle všechny tyhle věci umím, je vaše cesta nejrychlejší, a i když to někdou neumí, lze mu na tomto postupu zkusit objasnit (ne vypočítat), proč ta limita vyjde právě tolik a jak ten mechanismus vlastně vnitřně funguje.

Ohodnoceno: 0x
 

 

 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.