Posloupnost rostoucí a klesající

Chybný je výpočet následujícího členu a_n+1 ve všech 3 příkladech.

Je zapotřebí si uvědomit, že (–1)ⁿ je pro liché n rovno –1 a pro sudé n rovno +1. Takže v čitateli se bude střídat 0 a 2 ( 0 = 1 – 1 a 2 = 1 + 1). Takže a_n = 0 pro liché n a zlomku 2/(2n) = 1/n pro sudé n.

Proto posloupnost nebude rostoucí ani klesající.

Horní mez není určena jednoznačně, je to každé číslo, které omezuje posloupnost shora, přes které ta posloupnost nepřeleze. A jak ji poznat? To je případ od případu, někdy je to jednoduché, třeba u posloupnosti 1 –1/n je jasné, že všechny členy jsou menší než jedna, takže hormí mez (někdy se říká horní závora) je každé číslo od jedničky nahoru. Jindy to samozřejmě může být složitější. důležité je vědět, co hledám..

Počtěte si zde.

O něco se pokusím. Vy máte vlastně dva dotazy, vypadají podobně, ale přeci jenom jsou trochu rozdílné. Nejdřív se ptáte "jak zjistím horní a dolní mez", a pak "jak poznám horní a dolní mez". Ten druhý dotaz je malinko jednodušší. Já ho chápu tak, že máte nějaké číslo k disposici a chcete o něm zjistit, jak poznáte, zda právě toto číslo je horní mez. (Budu mluvit pro určitost stále o horní mezi, s dolní mezí se zachází podobně, jen budeme studovat opačné nerovnosti.)Vezmu jednoduchý příklad: posloupnost a_n = 2 – 1/n a dvě čísla: 1,4 a 2. U čísla 1,4 je jasné, že to není horní mez, stačí najít alespoň jeden člen posloupnosti an, který je větší než 1,4, a to může být například a₂ = 1,5 (nebo, ještě jednoduššeji, a₁ = 1) Naproti tomu číslo 2 je horní mezí, protoče a_n vždy vznikne tak, že od dvojky odečteme kladné číslo. Obecně tedy na otázku "je číslo A horní mezí posloupnosti a_n?" odpovíme tak, že budeme zkoumat nerovnost a_n ≤ A. Pokud najdeme aspoň jedno n, pro které uvedená nerovnost není splněna, odpověď je "ne". Pokud dokážeme, že uvedená nerovnost platí pro věechna n, odpověď je "ano".

Schválně jseště jeden, velejednoduchý, příklad: posloupnost bude

{0;0;0;0;0;0;8;0;0;0;...}, A = 7. Pak a_n je vždy menší nebo rovno než A s výjimkou a₇ = 8, ale to stačí k tomu, aby osmička nebyla horní závoru.

Ta druhá otázka je složitější o to, že musíte nadějného kandidáta aktivně vyhledat, ale o tom po kafi.

Ono samo o sobě to není ani špatně, ani dobře, to je začátek a záleží na pokračování, na tom, co s tím uděláte. Samozřejmě, že 3 je něco jiného než –3, aler tvrzení, že 3 je kladné je totéž, jako tvrzení, že mínus tři je záporné. Podstata toho, že posloupnost je rostoucí či klesající, je v tom, že každý následující člen je větší čí menší než předchozí. Což lze formulovat ruznými zpusoby. Schválně si to zkuste.