Co s logaritmem?

Od: Datum: 02.05.15 16:48 odpovědí: 16 změna: 04.05.15 16:17

Zdravím. 2^x+1=3^x. Neví někdo, co s tím? Když to zlogaritmuji, nevychází mi z toho nic kloudného. Díky!


Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Od: logaritmus
Datum: 02.05.15 18:57

Je to snad X = log 1/(log 3 - log 2)

doplněno 02.05.15 20:18:

Hloupost, součet nejde logaritmovat

Ohodnoceno: 0x
 
Od: jirkazxc
Datum: 02.05.15 19:08

nešlo by to takto:

2^1+1^1=3^1

2+1=3

čili x=1

Ohodnoceno: 0x
 
Od: logartmus
Datum: 03.05.15 14:42

Tomu nerozumím. Kamm zmizelo x? :)

Od: logartmus
Datum: 03.05.15 14:39

Výsledek je: log2/log1,5

Zdroj: státní maturita z matematiky v testových úlohách vč.testových řešení. Miroslav hruška, Rubicon

Ovšem nemůžu se k ničemu takovému dostat ani přibližně.

Datum: 03.05.15 17:45
avatar
Obávám se, že zde jde o nedorozumění.Nejprve k tomu řešení, které nabídl jirkazxc: on prostě vytipoval, chcete-li, uhádl, že řešení by mohlo být x = 1, a následujícím výpočtem tuto hypotézu ověřil. I tak lze; pravda, není to přímo matematický postup, ale po pravdě lepší neznám. Druhá "nevýhoda" je v tom, že tento postup sám o sobě nezaručuje, že neexistuje ještě jiné řešení, třeba to vaše x = log2/log1,5; ale tuto možnost snadno vyloučíme úvahami o monotonii (výrazu 3^x – 2^x ).A teď k vašemu příkladu: právě jsme si ukázali, že jeho jediné řešení je x = 1. Vtip je v tom, ře v citovaném zdroji se jedná o příklad3^(x+1) = 2^xkterý jistě snadno vyřešíte a vyjde vám to, co panu Hruškovi.
doplněno 03.05.15 19:28:

Pardon, 2^(x+1) = 3^x , jak je ostatně vidět na přiloženém obrázku.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: logartmus
Datum: 03.05.15 19:40

Jasně, rozumim tomu ohledně jirakzxc. Ale závěr méhoříkladu je, že jej snadno vyřeším a vyjde mi to, co panu Hruškovi? To bych sem přece nepsal,kdybych věděl, jak to vvyřešit...Mám pouze výsledek, ale jak se k němu dojde mi pořád uniká ;)

Od:
Datum: 03.05.15 19:45
Ohodnoceno: 1x
 
Datum: 03.05.15 20:06
avatar

Anebo přímo zlogaritmovat. Prostč správné zadání je triviálně řešitelníá. Omlouvám se tazateli, ale vy jste tvrdil, že si neumíte poradit s tím špatným zadáním, domníval jsem se, že správné zadání vám potíže už dělat nebude.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 03.05.15 20:22
avatar

Omlouvám se, že jsem se přepsal, navíc mi to editor jaksi srazil dohromady, Jinak byste jistě netvrdil, že nevíte, jak na to.

doplněno 03.05.15 20:57:

Pochopil jste z mé odpovědi aspoň to, že máte špatné zadíní? Nebo jste měl zadíní správně a jen jsrte ho špatně opsal?

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 04.05.15 11:41
avatar

Stále si myslím, že původ problému vychází z nedorozumnění. Je ale fakt, že má první odpověď byla poněkud znehodnocena typograficky, a navíc původně obsahovala překlep, i když jsem ho opravil. A protože z vašich odpovědí mi není jasné, že jsme si vše vyjasnili (možná ano, nevím), shrnu řešení úplně a přehledně.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 04.05.15 11:50
avatar

1. Úloha, tak jak jste ji uvedl, zněla:

Řešte rovnici2^x +1 = 3^x

Abych vyloučil nedorozumění, zapíšu uvedenou rovnici ještě dvěma jinýmy způsoby.

Jednak s nadbytečnými, ale upřesňujícími závorkami:

(2^x) +1 = 3^x

a jednak pomocí horního indexu:

2x+1 = 3x.

K tomuto zadání jste napsal – a já s tím souhlasím – " Když to zlogaritmuji, nevychází mi z toho nic kloudného."

Později jste uvedl řešení z výsledků ze zdroje:

Zdroj: státní maturita z matematiky v testových úlohách vč.testových řešení. Miroslav hruška, totiž x = log2/log1,52.

Jedno řešení nalezl jirkazcx, totiž x = 1. Postupovel tak, že řešení uhádl a výpočtem ověřil. Toto řešení ovšem není to, které uvádí Hruška a kolektiv. Je možné, že existuje ještě jié řešení?

3. Jednoznačnost řešení x = 1 dokážeme úvahami o monotonii výrazu (3^x – 2^x). Jak? takto:

Pro x kladné je 3^x> 2^x, pro x = 0 je (3^x – 2^x) = 0, takže řešení rovnice (3^x – 2^x) = 1 může nastat pro jediné nezáporné x, totiž pro x = 1.

Pro x záporné naproti tomu je (3^x – 2^x) záporné a rovněž se nemůže rovnat jedné.

Závěr: Vámi uvedené rovnice má jediné řešení, totiž x = 1 ≠ log2/log1,5.Ke správnému řešení se vrátím v násleující odpovědi.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 04.05.15 12:11
avatar

Správné řešení spočívá v odstranění nedorozumění.

4. Zadání, tak jak ho uvádí Hruška, zní

2^(x+1) = 3^x

nebo, pomocí horního indexu,

2x+1 = 3x,

Zlogaritmujete-li toto zadání, už není pravda, že nedostanete nic kloudného, naopak, tato cesta vede přímo k výsledku. Proto jsem napsal,

"v citovaném zdroji se jedná o příklad

2^(x+1) = 3^x,

který jistě snadno vyřešíte a vyjde vám to, co panu Hruškovi."

(tohle je již po opravě překlepu), ale možná díky překlepu, možná díky tomu, že se mi text "zdrcnul", jste si nevšiml, že jde o jiný příklad, než na který jste se ptal, protože tohle opravdu jistě umíte.

5. Jedno řešení napsal @x.

6. Druhé řešení, která odpovítá tomu, když rovnici zlogaritmujete, je

(x+1) log 2 = x log 3

x(log 2 – log 3) = log 2

x = log 2 /(log 2 – log 3) = log 2 / log ½ 3

7. Uvítám, když napíšete, zda je vám vše jasné.

Ohodnoceno: 0x
 

 

Od: logaritmus
Datum: 04.05.15 12:53

Jak z toho pozoruji tak někteří neználci nezvládnou ani pořádný jednoznačný zápis. Já tam viděl absolutní člen

Stačily jen dvě závorky

Ohodnoceno: 0x
 
Od: strait
Datum: 04.05.15 13:59

Logickou úvahou jste zjistil, že x nemůže být 0 ani záporné ale pak jste to x stejně uhodl, co kdyby byla rovnice:

3^x - 2^x =1234

To už by nešlo tak snadno uhádnout, protože to pravděpodobně není ani celé číslo.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 04.05.15 14:55
avatar

Dokonce jsem ho ani neuhodl já, to řešení vymyslel jirkazxc. (Navíc posloupnost je jiná: nejdřív jsme řešení uhádli a pak jsme dokázali jeho jednoznačnost, ale to je jen technický detail.) A proč mi to říkáte, já to přece vím. Nebo to byl dotaz?

Ona totiž je to transcendentní rovnice, kterou neumíme řešit v radikálech nebo tak nějak "rozumě", Na to jsou přibližné metody, které rovnici vyřeší s libovolnou přesností. (Zde by vyšlo x ≈ 6,54552.) Analyticky lze dokázat zase jenom jednoznačnost, podobně jako v naší rovnici. (Mimochodem to je důvod, proč se mi to zadání od počátku moc nezdálo jako příklad k maturitě, i když jsem to nijak nerozváděl.)

Ohodnoceno: 0x
 
Od: strait
Datum: 04.05.15 16:17

To rád slyším, protože jsem to s přesností taky nedokázal vyřešit. :) Metody na přiblížení by se samozřejmě najít daly.

Ohodnoceno: 0x
 

 

 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.