Hranice intervalu/nerovnosti

Od: Datum: 04.03.15 22:34 odpovědí: 3 změna: 09.03.15 09:00
Mam-li x>10, pak hranice je pry 10, pricemz ta do intervalu nepatri. U uzavreneho by tam patrila, ovividne.
Jak je to ale u nespojitych? Napr. velikost nohy po 0.5,kde x>4 a x<7. Hranice je pry 4.5, coz mi nejde do hlavy. Hranicni bod by mel lezet v otevrenem okraji tesne za intervalem, to zde ale neplati, protoze 4.5 tam patri...

Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Datum: 08.03.15 17:54
avatar

K tomu asi takhle:

Pokud budeme mluvit o otevřenosti, uzavřenosti, hraničních bodech pouze v souvislosti s intervaly, je vše jasné; zobecníme-li tyto pojmy na obecnou množinu (třeba i jem na přímce), pojmosloví se asi trochu zkomplikuje (ale paradokcně smysl se, podle mne, zprůzrační.

Tak nejprve interval (na číselné ose, respektive na přímce). Interval, zhruba řečeno, je množina čísel mezi dvěma hraničními čísly a <b (která mohou být i nevlastní, ted nekonečná), která k tomu intervalu mohou, ale nemusejí patřit. Pro přesnější definici je vhodné rozlišovat omozené a neomezené intervaly, už proto, že nekonečno vlastně není číslo, ale jakýsi ideální prvek (tedy ideální ve smyslu myšlený, ne ve smyslu dokonalý). Takže jsou-li a < b (konečná) reálná čísla, mluvíme o intervalu konečném, obsahujícím všehna x taková, že a<x<b (značíme (a,b) a případně ještě a (tedy a ≤x < b, značíme<a,b),) b (tedy a <x ≤ b, značíme(a,b>;) nebo obě tato čísla (geometricky tomu odpovídá úsečka). Zobecníme-li a jsou li obě tato čísla nebo aspoň jedno z nich nekonečná, jde o intervaly neomezené, geometricky o přímku (číselnou osu), případně o polopřímky. A aby to nebylo tak jednoduché, mezi intervaly počítáme i množinu prázdnou (to když dovlíme "krajním bodům" i nerovnost b < a, i když pak není na místě nazývat je krajnímy body), a také množina jednobodová (to když a = b a předpokládáme, že krajní bod a (který tedy zde splývá s krajním bodem b) do intrvalu patří (mohli bycho s trochou volnosti použít označení <a,a>, ale lepčíje klasické označení jednobodové množiny: {a}.) Přehled všech typů intervall viz přidaný obrázek. K terminologii: Intervaly 1., 5., 7., 9. a 11. se označují jako otevřené intervaly (protože jsou to otevřené množiny), intervaly 2., 6., 8., 9., 10. a 11. jsou uzavřené intervaly (protože jsou to uzavřené množiny). Intervaly 3. a 4. se někdy označují jako polootevřené či polouzavřené nebo též zleva/zprava otevřené/uzavřené. no a ty krajní, vymezující body a, b , pokud jsou to opravdová čísla a ne nekonečna a poky a ≤ b, jsou hraniční body intervalů. Hraniční v tom smyslu, že stojí na hranici; na jedné straně intrerval je, na druhé není ( v případě a é b cum grano salis) lze si to představit tak, že v hraničním bodě lze postavit celnici, která kontroluje přechudy z intervalu ven a naopak zase, a v celku nezáleží na tom, kdo ji vlastní, zda interval nebo jeho doplnék,

Ten váš první případ je tedy i vám jasný: Bod 10 je hraniční bod (to zní lépe než hranice), stojí na něm celnice a nepatří intarvalu, ale jeho sousednímu území. A tan druhý případ pouze se znalostí topologie (místopisu) intervalů nelze vysvětlit, k tomu musíme pojmy otevřenost, uzavřenost, hranice zobecnit a o tom v pokračování.

Ohodnoceno: 1x
 
Datum: 08.03.15 18:40
avatar

Tak teď jak je to s hranicí obecnější množiny, než je interval.

U intervalu jsme se rozhodli, že hraničními body budeme nazývat krajní /vymezující) body toho intervalu. Na obecnou číselnou množinu to zobecníme takto: Hraniční bod je takový, že v libovolné jeho blízkosti leží nějaký bod té zkoumaé množiny a nějaký bod jejího doplňku, zkrátka celnice. U intervalu to byl většinou ten krajní bod, tedy reálný, ne zcela jasné to bylo u jednobodové množiny, s krajními body a = b, ale v tomto zobecnění žádného problému nevidím. Tady všude oklo je sousedovo tedi libovolně blízko, ale sám bod a, respektive b k množině patří, Zkrátka něco jako Kaliningradské oblast (to jen pro názorost, kaliningradská oblast samozřejmě není jednobodové )zemí). A prázdná množina nemá žádné body, tudíž celnici nemám kde postavit (nikde nebudou v blízkosti žádné body prázdné množiny). A co množina otevřená a uzavřená? Otevřená bude, podle definice, množina, která neobsahuje žádný hraniční bod. Jinak to můžeme popsat takto: jako vnitřní bod označíme takový, který nemá v nějaké dost malé blízkosti žádnýá cizí bod (bod doplňku). A množinu, jejíž všechny body jsou vnitřní, nazveme otevřenou nestaví celnice, to když tak ti druzí). (Možná si řeknete, jak je to tedy s tou prázdnou množinou, o té jsem řekl, že je otevřené, ale ona nemá žádné body, tedy ani žádné vnitřní body. No a? Důležité je, že nemá žádné body, které by nebyly vnitřními, a to nemá.) A jako uzavřenou označíme tu množinu, která všechny své hraniční body obsahuje ("obšancovala, uzavřela, své hranice). Paradoxně prázdná množina je nejen otevřená, ale i uzavřená; protože žádné její hraniční body neexistují, neexistují ani hranišní body, která by jí nepatřily. Te%d snadno odsouhlasíte to tvrzení, která z typů intervalú jsou otevřená množina a které uzavřená, nezapomeňte, že nekonečno není číslo a tak nevadí, že toto "zobecněné" číslo například do intervalu 5 či dev+ět nepatří, ono prostě neexistuje).

A jak je to teď s intervalem " velikost nohy po 0.5,kde x>4 a x<7"? Tak především to není interval, ale obecnější možina. Taky bych nemluvil o nespojitosti, pro takovou tu "roztrhanost" používáme slovo "diskrétní" (nebudu to rozpitvávat, to jen na okraj), A ta množina obsahuje pouze několik bodů, konkrétně 4,5;5;5,5;6;6,5 a všechny tyto body jsou hraničními, jsou sami sobě celnicí.

Jasné nebo ještě něco nechápete? Snad jen připomenu, že body na přímce (respektive reálná čísla) jsou strašně nahečmané a žádný vbod "těsně před" (či za) jiným neexistuje, takže úvaha typu"Hranicni bod by mel lezet v otevrenem okraji tesne za intervalem" je poněkud zavádějící,

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 09.03.15 09:00
avatar

Teď mi ovšem napadlo, zda jsme si dobře rozuměli. Ono to vaše vyjadřování je poměrně terminologicky zmatené a při troše dobré vůle bych ho mohl chápat tak, že hledáte infimum (jiné názvy: největši dolní hranice, největší dolní závora). Možná ne, ale mohl byste se k tomu vyjádřit? Odkud jste tu úlohu vzal (střední škola, VŠ?) a v jakém kontextu ji máte, co zrovna probíráte?

Ohodnoceno: 0x
 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.