Gaussova eliminace

Od: Datum: 16.02.15 18:42 odpovědí: 3 změna: 16.02.15 21:03

Prosím o pomoc s příkladem, vůbec si nevím rady s reálným parametrem "a". Zadání zní: Pomocí Gaussovy metody určete všechna řešení soustavy lineárních rovnic obsahující reálný parametr a. Proveďte diskusi řešení v závislosti na hodnotě parametru a.

Děkuji za rady a prosím i o postup:)

x1+2x2-3x3=0

3x1-2x2+x3=0

ax1-14x2+15x3=0


Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Datum: 16.02.15 18:58
avatar

Nejprve si vyjádři dvě x a pak ty dvě x dosaď do poslední rovnice s parametrem - budeš tam mít jednu neznámou a parametr a. Rovnici uprav do tvaru, aby zbývalo jen vydělit čísly násobící neznámou x. Poté to rozděl do dvou případů - výraz, kterým chceš dělit je rovný 0 = > není řešení nebo není rovný 0.

Pak vyřešíš tyto dvě rovnice.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 16.02.15 21:03
avatar

Na první pohled je vidět, že systám má vždy řešení, při nejmenším triviální x1 = x2 = x3 = 0. Takže otázka stojí tak, zda je toto řešení jednoznačné, nebo zda množina všech řešení je lineární prostor dimenze aspoň jedna. Na druhý pohled pak vidím, že první dvě rovnice jsou nezávislé, takže není-li řešení jednoznačné, je jednoparametrické.

A ta závěrečná vydlička,naznačující, že rozhodujicí je, zda parametr a je nulový, je špatně, před ní je třeba převést z na jednu stranu a vytknout. Nicméně to naznačuje, že mé řešení je nejspíš numericky špatně. Asi si sednu a napíšu si to, přeci jen výpočet zpamětí nemusí být to pravé ořechové.

doplněno 17.02.15 13:35:

Po kontrole svého řešení zjišťuji, že výše uvedená odpověď nejen že neodpovídá zadání (Gaussova eliminace(!), ale je i špatně spočítaná. Prosím, raději ji neberte na vědomí. Je to dobře myšleno, ale není to dobře.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 16.02.15 19:57
avatar

Začal bych odečtením trojnásobku první rovnice od druhé s následnou změnou zmaménka a a-násobku od třetí rovnice:

x1+2x2-3x3=0

8x2–10x3=0

(-14–2a)x2+(15–3a)x3=0

(a asi bych nepracoval s plnými rovnicemi, ale jen s maticá soustavy)

druhou rovnici bych vydělil dvěmaa pak bych její (7 + a) násobek přičetl k dvojnásobku poslední:

x1+2x2-3x3=0

4x2–5x3=0

(–5–11a)x3=0

a je to. Ale přepočítejte si to, ty ýpočty jsem dělal zpaměti.

(Postup Elisa24 není tak úplně Gaussova eliminace.)

doplněno 16.02.15 21:04:

Asi si to přepočtu sám, nejspíš tam chybu mít budu. Ale dneska už ne.

doplněno 17.02.15 12:59:

Tak jsem to přepočetl a mám tam chybu, v té první části jsem –3a od třetí rovnice neodečetl, ale přičetl. Takže to má být:

x1+ 2x2 – 3x3=0

3x1 – 2x2+x3=0

ax1 –14x2+15x3=

================================

x1+2x2 – 3x3=0

8x2 –10x3 =0

(–14–2a)x2+(15 +3a) x3=0
=========================================

x1+2x2-3x3=0

4x2–5x3=0

( a –5) x3=0

==============

Závěr: Pro a ≠ 5 má systém jediné (triviální) řešení

pro a = 5 je poslední rovnice na prvních dvou nezávislá a řešení tvoří jednoparametrický systém, který řeší první dvě rovnice.

Omlouvám se za chybu. Ale na druhou stranu @elisa24 to má taky blbě, tak v tom nejsem sám.

Ohodnoceno: 1x
 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.