Odvození operace s logaritmem

Za prvé : Proč ty vztahy uvádíte dvakrát?

Za druhé: jistěže to jde odvodit, je to vlastně speciální případ tvrzení, že provedením inverzní funkce k funkci f dostaneme identitu, ale pozor, identitu na definičním oboru té vnitřní funkce: f_–1(f(x)) ≡ x pro x z D_f.

No a za třetí, není to pravda. Ve vztahu log_aa^x = x berete za funkci f funkci exponenciální (f (x) ≡ a^x) s definičním oborem D_f = R, k ní inverzní je logaritmus při základu a, a dle předchozího obecného tvrzení vztah log_aa^x = x platí pro všechna x reálná. Ale ve vztahu a ^{log _a x} = x berete za funkci f logaritmus (při základu a) s definičním oborem tvořřeným kladnými reálnými čísly a jen pro tato čísla vztah platí.

Řešeno ještě jinak: funkce f = log_aa^x ; g = a ^{log _a x} jsou ^{různé funkce. Obě tyto funkce jsou sice identity, ale liší se definičním oborem.}