Lokální extrémy funkce s více proměnnými

Od: Datum: 06.12.14 17:15 odpovědí: 7 změna: 07.12.14 19:24

Dobrý den, prosím o radu mám zadaný příklad: z= x2+y2+4x-2y

z toho jsem si spočítala parciální derivace což je:

zx=2x+4

zy=2y-2

z toho jsem zjistila stacionární body, které jsou: x=-2, y=1,

druhá derivace vyšla

zxx=2

zyy=2

zxy=0

zyx=0

poté jsem udělala matici:

2 0

0 2 a determinant vyšel 4

můžete mi prosím ukázat nejlepe i s potupem, jak se teď tedy vyštřují ty extrémy? Vubec tomu nerozumím, děkuji všem za pomoc.


Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Datum: 06.12.14 18:27
avatar

Tak nejdřív bych upozornil, že v tomto případě nepotřebujete ani derivovat. Prostým doplněním na čtverec upravíte funkci na tvar

z= x2+y2+4x-2y = (x+2)2 + (y–1)2 – 1

a hned vidíte, že pro x = –2, y = 1 je z = – 1 a všude jinde je větší, ergo v daném bodě je ostré lokkálné minimmum. To je vlastně modelová podoba; všimněte si, že [–2; 1] je právě ten stacionární bod, který jste získala derivováním.

Obecně ty derivace počítat potřebujete, e výpočet extrémů probíhá tak, že po nalezení stacionárního bodu zkoumáte tu Hessovu matici, kterou jste spočetle. Pro více proměnných byste musela zkoumat příslušnou kvadratickou formu /zde by to byla forma 2u2 + 2v2 ) 0*2uv (u=x+2, v =y–1) ; pokud je definitní, je ve stacionárním bodě extrém, minimum pro positivně definitní formu, což je náš případ – u2+v2 je pro nenulový vektor (u,v) vždy kladná, je-li negativně definitní jde o minimum, je-li indefinitní (někdy kladná, někdy záporná),jde o sedlový bod.

A jak poznáme, jaká je? Zde je to jasné, již jsem to poznal. V obecném případě, ale jen ve dvou proměnných je-li determinant kladný, (náč případ), jed o extrém, a to o minimum, když jsou na diagonále kladná čísla (stačí jedno, to druhé vyjde kladné samo), maximum, když jsou záporná. Kdyyby byl determinant záporný, šlo by o sedlový bod. (Při nulovém determinantu by to vyžadovalo další šetření.)

Ohodnoceno: 2x
 
Datum: 06.12.14 22:27

takže výsledek je , že v bodě z=-1 je ostré lokální minimum?

a co prosím znamená výsledek ve wolframu Local minimum: x2+y2+4x-2y=-5

abych teda věděla co mám napsat jako závěr příkladu. Děkuji

Datum: 06.12.14 23:51
avatar

Především se musím omluvit, já to počítal zpaměti a hlavně jsem se přepsal ( )-: ), po doplnění na čtverec dostaneme

z= x2+y2+4x-2y = (x+2)2 + (y–1)25.

Takže v bodě [–2; 1] bude y = –5 a ne –1. Podstata se nemění, je v tom kvadratickém členu, jde o to, že ten je vždy kladný krome bodu stacionárního, čili ve stacionárním bodě je funkce nejmenší.¨¨Ostré lokální minimum je tedy v bodě [–2; 1], a je rovno –5 (a ne –1, jak by plynulo z mého prvního vyjádření). To je taky odpověď na tu vaši otázku na výsledek z wolframu. Těch x2+y2+4x-2y=-5 je hodnota toho minima, získáte ji, když do funkce dosadíte bod toho minima čili stacionární bod.

doplněno 07.12.14 12:42: Ještě koukám, že jsem zaměnil y a z. : y z = –5 Ale to je tím, že mi občas přeskakuje qwerty a qwertz,
Ohodnoceno: 2x
 
Datum: 07.12.14 11:24

děkuji mnohokrát!

Datum: 07.12.14 18:36

ještě tak přemýšlím , kde se vlastně vzala ta -5 to je dosazením těch stacionárních bodu? to mi pak nevychází

Datum: 07.12.14 19:24
avatar

To vzniklo klasickým doplněním na čtverec:

x2+y2+4x-2y = x2+4x+y2–2y = x2+2*2x+4 –4 +y2–2y+1 –1 = (x2+2*2x+4) +(y2–2y+1) –5 = (x+2)2 + (y–1)2 –5

A vlastně, dosadíte-li do funkce z= x2+y2+4x–2y. tak vám ta mínus pětka vyjde; ale to je míchání dvou postupů. berte to jako jakousi kontrolu postupu s doplněním na čtverec pomocí postupu přes derivace (hledání stacionárních bodů a vyšetřování Hessiánu). Oba postupy jsou správné a tedy oba dají tutéž hodnotu minima, což je právě ta –5.

Jinak samozřejmě ten postup, který jste začala a který vám potvrdil jednak x, ale který jsem uvedli i já jako druhou možnost, je v pořádku. Ono je to tak, že váš příklad je vlastně krystalická model, kde vše můžete , abych tak řekl, vyjádřit otevřeně až do konce. To je tím, že funkce je polynomiální. Takže po doplnění na čtverec vidíme, ře funkce z je taková, že v bodě stacionárním má hodnotu těch mínus pět a na vše strany to přirůstá, její graf je zde rotační paraboloid. V obecném případě je vyjádření funkce složitější, a přesné vyjádření přírůstku nelze tak jednoduše najít. Zde pak nastupují derivace, a dáse řáci, že výše popsané platí přibližne, aspoň tak, že v blízkém okolí stacionárního bodu se funkce chová tak, jako by to byl polinom, s odchylkami, které nepokazí ten fakt, že v okolí stacionárního bodu funkce na vše strany roste, i když možná méně než paraboloid.

Pokud vám tohle přijde moc složité a nepochopitelné, zapoměňte na to a pamatujte si že u polynomů múřeme zkusit doplnění na čtverec, u složitějších funkcí nezbyde než derivovat.

Ohodnoceno: 1x
 
Od:
Datum: 06.12.14 18:27

Postupujete správně. Našla jste stacionární bod (-2; 1), sestavila Hessovu matici a vypočetla její determinant. Nyní můžete rozhodnout, že se v tomto příkladu jedná o lokální extrém (determinant je kladný). Druhá derivace je kladná, tak se jedná o lokální minimum.

Ohodnoceno: 3x
 

 

 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.