Lokální extrémy funkce s více proměnnými

Postupujete správně. Našla jste stacionární bod (-2; 1), sestavila Hessovu matici a vypočetla její determinant. Nyní můžete rozhodnout, že se v tomto příkladu jedná o lokální extrém (determinant je kladný). Druhá derivace je kladná, tak se jedná o lokální minimum.

Tak nejdřív bych upozornil, že v tomto případě nepotřebujete ani derivovat. Prostým doplněním na čtverec upravíte funkci na tvar

z= x²+y²+4x-2y = (x+2)² + (y–1)² – 1

a hned vidíte, že pro x = –2, y = 1 je z = – 1 a všude jinde je větší, ergo v daném bodě je ostré lokkálné minimmum. To je vlastně modelová podoba; všimněte si, že [–2; 1] je právě ten stacionární bod, který jste získala derivováním.

Obecně ty derivace počítat potřebujete, e výpočet extrémů probíhá tak, že po nalezení stacionárního bodu zkoumáte tu Hessovu matici, kterou jste spočetle. Pro více proměnných byste musela zkoumat příslušnou kvadratickou formu /zde by to byla forma 2u² + 2v² ) 0*2uv (u=x+2, v =y–1) ; pokud je definitní, je ve stacionárním bodě extrém, minimum pro positivně definitní formu, což je náš případ – u2+v2 je pro nenulový vektor (u,v) vždy kladná, je-li negativně definitní jde o minimum, je-li indefinitní (někdy kladná, někdy záporná),jde o sedlový bod.

A jak poznáme, jaká je? Zde je to jasné, již jsem to poznal. V obecném případě, ale jen ve dvou proměnných je-li determinant kladný, (náč případ), jed o extrém, a to o minimum, když jsou na diagonále kladná čísla (stačí jedno, to druhé vyjde kladné samo), maximum, když jsou záporná. Kdyyby byl determinant záporný, šlo by o sedlový bod. (Při nulovém determinantu by to vyžadovalo další šetření.)