Neznáme číslo je dělitelné 3 různými prvočísly. Když tato prvočísla srovnáme vzestupně, platí následující:
- rozdíl druhého a prvního prvočísla je polovinou rozdílu třetího a druhého prvočísla
- součin rozdílu druhého a prvního prvočísla s rozdílem třetího a druhého prvočísla je násobkem 17
Určete nejmenší číslo, které splňuje požadavky
Pomoc prosím 
0x
řešení někdo napsal - viz. odkaz, ale nedíval jsem se, jestli správně.
--------------
první prvočíslo se označí např. p1, druhé prvočíslo p2, třetí prvočíslo p3
neznámé číslo označíme např. x
sestavíme rovnice
p2 - p1 = 1/2 krát (p3 - p2)
z toho plyne že 2 krát (p2 - p1) = p3 -p2
(p2 - p1) krát (p3 - p2) = 17 krát k
k je celé kladné číslo
do druhé rovnice se místo závorky (p3 - p2) dosadí 2 krát (p2 - p1)
takže 2 krát (p2 - p1) krát (p2 - p1) = 17 krát k
z toho plyne, že rozdíl p2 -p1 je dělitelný 17
jestliže je nějaké číslo dělitelné současně třemi různými prvočísly, tak toto číslo je větší nebo rovno součinu těchto prvočísel. Má li být číslo co nejmenší, tak i prvočísla musí být co nejmenší.Protože na jednu rovnici máme tři neznámé, je potřeba postuně zkoušet jednotlivá prvočísla.Začneme prvočíslem 2.
2 + 17 = 19.. Rozdíl mezi p3 a p2 musí být 34.
Pokud je p2 = 17, tak v tom případě by p3 muselo být 51, což není prvočíslo.
rozdíl mezi p2 a p1 nemůže být lichý násobek čísla 17, protože liché číslo (každé prvočíslo kromě 2 je liché) plus liché číslo (17, 34, 51 atd.) je rovno sudému číslu.
zkusíme 3 + dvojnásobek 17.
3+ 34 = 37, což je prvočíslo. V tom případě rozdíl mezi p3 a p2 by byl 68
37 + 68 = 105, což není prvočíslo.
zkusíme 5 + 34 = 39, což je prvočíslo
39 + 68 = 107, což je taky prvočíslo.
Prvočísla, která se dají dosadit do rovnic zadání jsou 5,39 a 107.
Otázka ale je, zda jejich součin je nejmenší možné číslo.
Prověříme ještě případ, kdy by první prvočíslo bylo 2 a druhé 2+ 3 násobek 17
2 + 51 = 53 což je prvočíslo
53 + 102 = 155 což není prvočíslo.
Řešením by tedy dle mého názoru mělo být 5 krát 39 krát 107 = 20865
0x
V předchozím příspěvku jsem se spletl.
Začal jsem s prvočíslem p1 = 2, připočetl jsem 17, takže p2 = 19,
a k p2 připočtu 34, takže p3 vychází 53, což je taky prvočíslo a to je nejmenší řešení.
2 krát 19 krát 53 = 2014
Pokud by tento první pokus nevyšel, tak by se dále postupovalo tak, jak jsem napsal.
doplněno 28.10.14 11:06:Do řešení je potřeba samozřejmě ještě napsat, že x = p1 krát p2 krát p3
Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.
Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.