Ukoly do skoly

Od: Datum: 28.10.14 08:42 odpovědí: 5 změna: 28.10.14 11:04

Neznáme číslo je dělitelné 3 různými prvočísly. Když tato prvočísla srovnáme vzestupně, platí následující:
- rozdíl druhého a prvního prvočísla je polovinou rozdílu třetího a druhého prvočísla
- součin rozdílu druhého a prvního prvočísla s rozdílem třetího a druhého prvočísla je násobkem 17
Určete nejmenší číslo, které splňuje požadavky
Pomoc prosím :)


Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Datum: 28.10.14 10:52

řešení někdo napsal - viz. odkaz, ale nedíval jsem se, jestli správně.

http://www.zpovednice.cz/detail.php?statusik=833701

--------------

první prvočíslo se označí např. p1, druhé prvočíslo p2, třetí prvočíslo p3

neznámé číslo označíme např. x

sestavíme rovnice

p2 - p1 = 1/2 krát (p3 - p2)

z toho plyne že 2 krát (p2 - p1) = p3 -p2

(p2 - p1) krát (p3 - p2) = 17 krát k

k je celé kladné číslo

do druhé rovnice se místo závorky (p3 - p2) dosadí 2 krát (p2 - p1)

takže 2 krát (p2 - p1) krát (p2 - p1) = 17 krát k

z toho plyne, že rozdíl p2 -p1 je dělitelný 17

jestliže je nějaké číslo dělitelné současně třemi různými prvočísly, tak toto číslo je větší nebo rovno součinu těchto prvočísel. Má li být číslo co nejmenší, tak i prvočísla musí být co nejmenší.Protože na jednu rovnici máme tři neznámé, je potřeba postuně zkoušet jednotlivá prvočísla.Začneme prvočíslem 2.

2 + 17 = 19.. Rozdíl mezi p3 a p2 musí být 34.

Pokud je p2 = 17, tak v tom případě by p3 muselo být 51, což není prvočíslo.

rozdíl mezi p2 a p1 nemůže být lichý násobek čísla 17, protože liché číslo (každé prvočíslo kromě 2 je liché) plus liché číslo (17, 34, 51 atd.) je rovno sudému číslu.

zkusíme 3 + dvojnásobek 17.

3+ 34 = 37, což je prvočíslo. V tom případě rozdíl mezi p3 a p2 by byl 68

37 + 68 = 105, což není prvočíslo.

zkusíme 5 + 34 = 39, což je prvočíslo

39 + 68 = 107, což je taky prvočíslo.

Prvočísla, která se dají dosadit do rovnic zadání jsou 5,39 a 107.

Otázka ale je, zda jejich součin je nejmenší možné číslo.

Prověříme ještě případ, kdy by první prvočíslo bylo 2 a druhé 2+ 3 násobek 17

2 + 51 = 53 což je prvočíslo

53 + 102 = 155 což není prvočíslo.

Řešením by tedy dle mého názoru mělo být 5 krát 39 krát 107 = 20865

Ohodnoceno: 0x
 
Od: jakub007
Datum: 28.10.14 11:02

taky matemetická olympiáda? :D

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 28.10.14 11:03

myslím že je to poslení příklad matematické olympiády kategorie Z9

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 28.10.14 11:04

udělal jsme tam chybu. Už jsme to nestihl opravit v limitu, tak jsme napsal další příspěvek níž. Řešením je opravdu těch 2014.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 28.10.14 11:03

V předchozím příspěvku jsem se spletl.

Začal jsem s prvočíslem p1 = 2, připočetl jsem 17, takže p2 = 19,

a k p2 připočtu 34, takže p3 vychází 53, což je taky prvočíslo a to je nejmenší řešení.

2 krát 19 krát 53 = 2014

Pokud by tento první pokus nevyšel, tak by se dále postupovalo tak, jak jsem napsal.

doplněno 28.10.14 11:06:

Do řešení je potřeba samozřejmě ještě napsat, že x = p1 krát p2 krát p3

Ohodnoceno: 0x
 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.