Jak vypočítat z hlavy odmocninu?

Od: Datum: 13.07.14 18:52 odpovědí: 13 změna: 17.07.14 16:49
Pomozte mi prosím, jak snadno vypočítám odmocninu. (Nebo alespoň mocninu.)
Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Datum: 13.07.14 19:20
avatar

Mocninu celkem snadno, základ násobíte exponent-krát. 73 = 7 * 7 * 7.

Pokud jde o druhou odmocninu, nejlépe tak, že provedete nějaký odhad a pak provádíte násobení tak dlouho, až naleznete dva základy, mezi kterými bude odmocnina ležet. Např. 55: 72 je 49, 82 je 64, tak to bude mezi 7 a 8. Pak podle požadované přesnosti můžete zkoušet násobit 7.2 * 7.2, 7.3 * 7.3 a tak dále, než se přibližně trefíte.

Pokud k celému číslu přidáte 0.5, u malých čísel se v mocnině posunute přibližně o tolik, kolik je teď základ, u velkých čísel přibližně o polovinu mezi vedlejší mocniny. Co tím myslím: když víte, že hledané číslo je mezi 7 a 8 (tj mezi 49 a 64), tak 7.52 bude přibližně 49+7. Pokud je mezi 120 a 121, tak 120.5 bude přibližně v půlce mezi odpovídajícími mocninami.

Třetí odmocnina by se dala počítat stejným způsobem, ale zatímco druhá je ok, tak u třetí to z hlavy už na dvě desetinná místa je docela dost, protože budete násobit alespoň pětimístné krát třímístné číslo (což z hlavy sice pořád ještě jde, ale není to moc sranda).

Stejně tak mocnina s exponentem, který není celým číslem. Můžete to zkoušet různě s pomocí logaritmických vzorců, ale výsledek bude spíš jen kvalifikovaným odhadem.

Ohodnoceno: 1x
 
Datum: 14.07.14 09:20
avatar

Jinak existují partikulární triky na speciální případy. Například když umocňujete na druhou celé číslo, končící na pětku, stačí to, co je před pětkou, znásobit číslem o jednu větším a za výsledek připíšete 25. Například 15: 1/2 = 2, za dvojku připíču 25 a mám 5² = 225. Nebo 35² = (3*4)25 = 1225 atd.

Z hlediska počítání z hlavy je zajímavá brožurka G.N.Bermana "prijomu sčota (rysky), ale nevím, zda ji ještě někde seřenete.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: lmgify
Datum: 14.07.14 11:53

Jestli tu knizku mate doma, tak si muzete pogratulovat, protoze v CR je ve verejnych knihovnach jediny exemplar uchovany nekde ve skladu. Je to 4.vydani. Matematicky ustav Akademie Ved ma k dispozici dalsi 2 vytisky stejneho vydani pouze pro presencni vypujcku.

Samozrejme si tazatelka vzdycky muze to knizku stahnout z Internetu (jako jsem to udelal ja *smich*). Je to ve formatu DjVu, takze jeste bude potrebovat prohlizec. Je to 5.vydani.

Knizka je pochopitelne naskenovana v ruskem originale, takze znalost cyrilice (azbuky) je vyhodou *palec*

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 14.07.14 12:15
avatar

Míval jsem ji, ale za ta léta a mnohá stěhování už nevím. Ale připoměl jsem si to a prohledám zatuchlé kouty knihovny, a když neuspěji, využiji Váš odkaz; díky.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: lmgify
Datum: 14.07.14 12:35

Tak se omlouvam. Spatne jsem hledal. Existuje jeste jeden vytisk 5.vydani na Lekarske fakulty univerzity v Olomouci. Vytisk je dostupny pouze prezencne.

Chyba vznikla rozdilnym prepisem z rustiny (různé kombinace "Prijomy"/"Prijemy" "sčeta"/"sčota") v databazich vytisku v knihovnach.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: valecek
Datum: 17.07.14 00:51

Mám vlastní metodu která je pracná ale zcela přesná. Hodí se to pro programování,dají se tím řešit libovolné odmocniny a taky i rovnice vyžších stupňů a vystačí se sčítáním a porovnáváním.

Pracuje to takto: první sloupec je umocňované číslo,druhý sloupec je jeho mocnina,třetí sloupec je rozdíl čísel v druhém sloupci,další sloupec je rozdíl čísel v předchozím sloupci atd... až se dopracujete ke konstantnímu přírůstku.

Ten je pro druhou mocninu 2,pro třetí 6,čtvrtou 24.Jde o posloupnost 2,6,24,120...(1x2=2),(2x3=6),(6x4=24),(24x5=120).

Níže uvádím příklad druhé mocniny ale fuguje to u všech,protože je konstantí přírůstek vždy dělitelný dvěma jde to snadno algoritmizovat i do dvojkové soustavy pro strojní kód,na odmocninu jsou sice i jednodužší postupy ,ale tohle se dá použít i pro řešení rovnic vyžšího řádu kde žádné známé řešení vzorečkem neexistuje,jen je to pracné ale to počítači nevadí že?

Pokud chcete druhou odmocninu desetiného čísla tak si ho napřed vynásobíte a výsledek podělíte odmocněným předchozím násobitelem, např 2.356x10000 a pak výsledek 153/100. V desítkové soustavě je výhodný násobitel ze sudým počtem nul, počítáte li v binární soustavě kde rotace bitů v vlevo a pravo o 1bit je vlastně násobením a dělením 2 je to 2 nebo 4 ...8...16.

Nehodlám tuhle matematiku dále rozebírat, myslím že je to jasné.

Nikde jsem o tomhle nic nečetl asi jsem na to přišel první, ale už jsem o tom kdesi něco psal.

Mám takové nejasné tušení že tahla matematika by se hodila do kvantové teorie.

Sloupce různých mocnin by mohly popisovat skládání kvant pro N-rozměrné částice

číslo: mocnina rozdíl1 konstantní rozdíl

-3 9 16-9=7

-2 4 9-4=5 7-5=2

-1 1 4-1=3 5-3=2

0 0 1-0=1 3-1=2

1 1 0-1=-1 1-(-1)=2

2 4 1-4=-3 -1-(-3)=2

3 9 4-9=-5 -3-(-5)=2

4 16 9-16=-7 -5-(-7)=2

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 17.07.14 09:57
avatar

"Nehodlám tuhle matematiku dále rozebírat, myslím že je to jasné."

Mně ne. Například se mi zdá, že podle této metody 153² = 2356; aspoň to tam píšete, i když nevím, jak jste se k tomu dopracoval.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 17.07.14 10:17
avatar

Mně taky ne :)

Předpokládám ale, že by se začínalo od nějaké hodnoty, která je známá (12 nebo tak něco) a postupovalo dál podle třetího sloupečku, kde jsou konstantní přírůstky, druhý sloupeček by se dopočítával a z něj i ten první, a tedy druhá mocnina.

Výhoda by mohla být v tom, že operace sčítání je v integrovaných obvodech úspornější než násobení.

I tak mi to ale mnoho smyslu nedává. Ale zas to je už pěkných pár let, určitě jsem spoustu souvislostí zapomněl.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 17.07.14 16:49
avatar

No pokud tomu dobře rozumím, přítel váleček se pokouší vyložit nám běžně známý fakt (dokazatelný například matematickou indukcí), že n-tá diference posloupnosti n-tých mocnin přirozených čísel je konstantní. Tolik k těm sloupečkům, a jak to chce váleček využít k výpočtu mocnnin, na to jste asi přišel vy, zřejmě chce řešit příslušné diferenční rovnice numericky, s využitím rekurentních vzorců,ovšem, jak jsi upozornil, potřebuje znát i počáteční podmínky. No proč ne, i když zvláštní výhodu v tom nevidí. Kolega má sice pravdu v tom, že sčítání je efektivnější než násonbení, ale tento algoritmus vyžaduje sčítat opakovaně a tak výpočetní složitost by měla vyjít nastejno. Ale co mi vůbec není jasné, jak chce tímto postupem počítat odmocniny a dohonce řešit algebraické rovnice. K tomu nemám komentář, protože v jeho příspěvku nevidím nic, co bych mohl komentovat (snad až na ten jeho příklad, kterému nerozumím, ale zdá se, že uvádí blbý výsledek) (je-li tedy to,m co uvádí, výsledek). Nic ve zlém, nepokouším se nihoho shazovat, opravdu by mne zajímalo, jak chce vyřešit například rovnici x² = 4, nebo dokonce x² + 4 = 0.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 14.07.14 10:01
avatar

A k odmocňování: to, co napíšu teď, není zrovna metoda na počítání zpaměti (i když, jak pro koho...), ale prostě metoda na výpočet. Chcete-li například vypočítat odmocninu z A kladného, uděláte si nejdřív hrubý odhad (třeba 75 je něco přes 64, takže jako první odhad vezmu 8. Pak vypočítám opravu následovně: správná hodnota není 8, ale 8 + ε, tedy

75 = (8 + ε)² = 64 + 2*8*ε + ε².

Pokud můj první odhad byl dobrý a epsilon je malé, tak čtverec epsilon bude ještě menší, zanedbám ho a mám

75 ≈ 64 + 16ε, odkud ε = 11:16 = 0.69, což dá vylepšený odhad 8,69. Čtverec tohoto čísla je 75,52, což už mi přijde docela dobré, falší upřesnění dostanu opakováním procesu.

Při "odvozování" jsem vyšel z toho, že první odhad je dobrý, ale kupodivu ono na tom zas tak nezáleží, ke správnému výsledku se nakonec dopracuji, ať zvolím první odhad jakkoli, jen když bude kladný. (Ona je to totiž Newtonova iterační metoda, jejíž konvergenci lze pro odmocninu dokázat jinými prostředky než tak, jak jsem to odvozoval.)

Ohodnoceno: 1x
 
Datum: 14.07.14 12:43
avatar

Tohle je zajímavé, podobně jsem šel na to půlení intervalu nebo odhad mezi dvěma čísly.. Akorát teda to dělení se mi nelíbí :D :D

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 14.07.14 13:37
avatar

No jak říkám, zrovna pro počítání zpaměti to ideální nebude, hlavně kvůli tomu dělení. Jinak princip metody je ten, že k řešení rovnice x2–A = 0 zvolím první iteraci a0 a následně parabolu y = x2–A nahradím její tečnou pro x = a0, čímž rovnici převedu na lineární. Z obrázku je pak celkem pěkně vidět, jak to dál chodí.

Ohodnoceno: 0x
 
Datum: 16.07.14 12:57
avatar

No a jinak to násobení z hlavy: postupuje se tak, že se vždy mezi sebou násobí ty číslice, které mají stejný součet počtu pozic od konce čísla. Toto se sečte, výsledek se píše zprava, desítky a vyšší řády se přenášejí. Stejně jako násobení s ocáskem, až na to, že tam ten ocásek není.

Např. 123 * 456, pro lepší představu možno zapsat pod sebe a v každém kromu čárkama spojovat, co se s čím násobí.

123

456

3 * 6, píšu 8, přenáším 1

2 * 6 + 3 * 5 (+ přenesená 1), píšu 8, přenáším 2

1 * 6 + 2 * 5 + 3 * 4 (+ přenesená 2), píšu 0, přenáším 3

1 * 5 + 2 * 4 (+ přenesená 3), píšu 6, přenáším 1

1 * 4 (+ přenesená 1), píšu 5

Odzadu tedy 8, 8, 0, 6, 5 a výsledek je 56088.

Při zápisu na papír se dá výsledek odzadu psát rovnou a celkem svižně, z hlavy to je trochu omezené dočasnou pamětí a představivostí, ale jinak to docela jde.

Samozřejmě u případů, jako 1629 * 13, bude rychlejší počítání jinými způsoby, 1629 * 10 = 16290, +1600*3 = 21000 + 90, + 29*3 = 21000 + 177. Třeba.

Ohodnoceno: 0x
 

 

 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.