Rozklad na Zlomky

A napsal jste správné parciální zlomky? Jaksi tam postrádám C. Ten rozklad bude

A/x + (Bx +C)/(x²+1)

Ono to jde různě.

JKlasický postup je, napsat (x+2)/[x(x2+1)] = A/x + (Bx +C)/(x2+1), vynásobit to jmenovatelem [x(x2+1)] a následně porovnat koeficienty u odpovídajících mocnin:

x+2 = A(x2+1) + (Bx +C)x

(v tomto okamřiku si mohu práco trochu ulehit, dosadit x = 0 a vzjde mi to vaše A = 2, ale mohu pokračovat i ycela standardně roynásobením na pravé straně

x+2 = Ax2 + A +Bx2 + Cx

x+2 = (A+B)x2 + Cx + A

a porovnat koeficienty u odpovídajících mocnin:

u x2: ... 0=A+B

u x: ... 1 = C

u nulté mocniny: 2 = A

což jsou tři linearní rovnice pro tři neznámé A, B, C, z nichž snadno spočtu A = 2, B = -2, C = 1.

Nebo to mohu dělat tak, že postupně dosazuji různá x a zase dostanu několik rovnic. Už jsem říkal, že x = 0 dá A = 2.

Když pak do vztahu x+2 = 2(x2+1) + (Bx +C)x dosadím x = 1 a x = -1, dostanu další dvě rovnice a z nich snado zjistím B a C.

A jde to i jinak.

Například lze tu rovnici zderivovat a dosazovat do derivace (což je výhodné, když mám násobné kořeny), nebo použít trik a rozepsat čitatele x+2 jako x + 2(x2+1) -2x2