Trojúhelníky - jsem zoufalá

Od: Datum: 15.04.14 11:08 odpovědí: 12 změna: 16.04.14 10:23

Ve škole jsem dostala úlohu, se kterou si nevím rady.

Vysokoškolské koleje se nechází ve vzdálenosti a=850m od staré cesty vedoucí do školy. Vzdálenost školy od kolejí je vzdušnou čarou b=1400m. Určete pod jakým úhlem Alfa je potřebova postavit novou silnici spojující koleje se starou cestou, tak aby náklady na dopravu byly pro studenty co nejmenší. Přepravní náklady na (1km) jsou na straré cestě 0,5kč a na nové silnici by byly 1,5kč.

Předem děkuji za pomoc


Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Od: paw®
Datum: 15.04.14 11:27

Si nakreslete situaci. treba v merizku 1:100. A uvidite.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: blanc
Datum: 15.04.14 11:38

To jsem udělala, pokud jsem tedy pochopila úlohu správně

Datum: 15.04.14 11:48
avatar

Předpokládám, že jde o náklady na cestu z kolejí do školy (a naopak). Chtělo by to možná si ujasnit, kde měřím ten úhel Alfa, ale to není zas tak podstatné, kde je, důležité je, abych to věděl. Když označím kolej písmenem K a školu S, a předpokládám, že stará cesta je přímá, mohu ještě označit P patu kolmice spuštěné z bodu K na starou cestu, a třeba O bod, v němž ze styaré cesty bude odbočovat nová. Pak trojúhelník KPS je pravoúhlý, vzdálenost d(K,P) kolejí od paty P kolmice ke kolejím K je 850m, vzdálenost d(K,S) je 1400m, vzdálenost d(P,S) dopočtu z Pythagorovy věty.

Následně z trigonometrie vypočtu vzdálenosd d1 = d(K.O) a d2 = d(S,O) v závislosti na úhlu α, vzdálenost d1 (v kilometrech) znásobím náklady na dopravu po nové cestě, d2 znásobím cestovními náklady po nové cestě a pak funkci f(α), danou tímto součtem, minimalizuji (nejspíše pomocí derivace).

Ohodnoceno: 0x
 
Od: blanc
Datum: 15.04.14 12:06

Tohle všechno mám, akorát mi není jasné jakou funkci mám derivovat.

Datum: 15.04.14 12:22
avatar

No funkci f ( α ) = d1( α ) * 0,5 + d2( α ) *1,5 (prostě cestovní náklady). To jsem se snažil popsat; nenptáte se spíš na to, jak spočítat d1( α ) a d2( α )? T je otázka užití goniometrických funkcí.

doplněno 15.04.14 13:00:

Jinak ta funkce bude obsahovat sin, cos, případně tan alfa, podle toho, jak konkrétně ji sestavíte, a budete derivovat podle alfa,.Váte, že derivace sinu je cosinus, derivace kosinu je méně sinus, derivace tangentuy je jedna lomeno kosinus na druhou, možná budete potřebovat derivaci zlomku, asi by to chtělo začít tou funkcí. Neměla by být složitá, jen je třeba si ujasnit, kde je alfa. (Mohl by to být úhel SOK, například.)

Ohodnoceno: 0x
 
Od: blanc
Datum: 15.04.14 12:36

spíš jsem trochu v koncím s těmi derivacemi. spočítat si si d1 a d2 a dosadit do funkce by mi ještě šlo, ale potom už začínám tápat.. :(

Od: blanc
Datum: 15.04.14 13:42

GeoGebra mě přesvědčuje o mé de*ilitě... Protože po spočítání vzorečků mi v grafu vyjde obyčejná rovná čára. Někde od základu dělám chybu a vůbec nevim kde...

Datum: 15.04.14 14:54
avatar

No to vám neporadím, když nevím, jaké vzorečky vám vyšly a jaké že čára vám v grafu (v jakém konkrétně grafu?) vyšla.

Táži se pro začátek: jak si představujete tu novou cestu? Odkud vede, kam, ... Já bych to vitěl tak, že použijete zčásti tu starou cestu do školy, v nějakém jejím bodě (já ho označovatl jako O) odbočíte pod úhlem alfa směrem na kolej a vystatíte tam novou cestu. Kdyby vám šlo jen o to, aby cesta ze školy na kolej byla co nejratší, pak by řešením byla spojnice kopírující vzduřnou cestu. Ale protože cesta po novém úseku bude dražší, tak se vyplatí využít aspoň kousek té staré cesty, takže délka cesty bude sice větší, ale cena vyjde nižští díky tomu levnějšímu starému úseku.

Ohodnoceno: 0x
 
Od:
Datum: 15.04.14 18:11

Já bych to řešil takto. Nová cesta odpovídá úsečce KR. Její délka bude s1 = sqrt(450^2 + r^2). Dráha po staré cestě bude s2 = |SP| - r.

V GeoGebre jsem vložil posuvník s rozsahem 0 až 1112. Do vstupního pole zadám R=(450, r).

Přepravní náklady pak vyjadřuji naklady = (1.5s_1 + 0.5s_2) / 1000.

Posuvníkem pak pohybuji a sleduji náklady a zkusmo najdu minimum.

.

Přesné řešení pak určím derivací, kde x = r. Úhel pak určím ze vztahu tan(α) = x/|KP| = x/0,45. Vzdálenosti zde mám vyjádřeny v km.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: blanc
Datum: 15.04.14 21:54

Postupovala jsem stejně, jediné u čeho jsem se zasekla, byla ta derivace... A teda pak jsem ještě tady zamtená z té s_1 - proč odmocnica ze 450 na druhou? Já jen pro upřesnění...

Od:
Datum: 15.04.14 23:02

Vidím, že jsem se zmýlil v psaní. Správně je s1 = sqrt(850^2 + r^2) = sqrt(KP^2 + r^2). V GeoGebře to mám dobře, stejně jako Vy.

Jako funkci provozních nákladů jsem volil F(r) = (1.5sqrt(850^2+r^2) + 0.5(sqrt(1400^2 - 850^2) - r))/1000

Do vstupního řádku pak stačí zadat Derivace[F] a v algebraickém okně se objeví derivace funkce. Pak lze do vstupního pole zadat Extrem[F,0,850] a v algebraickém okně se objeví bod, jehož souřadnice označují extrém funkce. U mě je to bod M=(300.52,1.76].

Pro minimální náklady mi vychází tan(α ) = 300.52/850 ⇒ α ≐ 19.47° .

Ohodnoceno: 0x
 
Od: blanc
Datum: 16.04.14 10:23

Tak po zadání funkce a její derivace mi to vyplivlo bod, stejně jako Vám. A po zadání tangensu i tangens...

Chtěla jsem se zeptat zda není v GeoGebře funkce, kde by mi ten výsleden tan α převedlo na stupně

 

 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.