Jak na funkce?

Co se týče toho prvního příkladu, neco lze vysoudit už z obrázku bez znalosti konkrátní funkce, když se na něj podívám jako na mapu s vrstevnicemi a představím si ocpovídající terén. Pak je celkem zřejmé, že bidy s nulovým gradientem budou v bodech A a B, což je byď vrchol kopce, kam jste vylesl pmožná po spádnici, tedy napříč vrstevnicím, a jste na vyhlídce, nebo naupak dno propasti; no a pak taky v bodech H a D, to jsou body, kde jsou nulové derivace ve dvou směrech, daných křížícími se vrstevnicemi (hladinami). Pro horolezce to znamená, že jsme v sedle a ty dvě křížící se vrstevnice vedou průsmykem, například, anebo se tam kříží dva hřebeny. Samozřejmě to je taková spíš heuristická úvaha k názorné představě, a hlavně bez podrobnější znalosti o zkoumané funkci nemůžeme vyloučit další body, nepříklad taková bod E bo taky mohl být bod s nulovým gradientem, kdyby příslušná vrstavnice představovala například okraj kráteru. No a taky to není úvaha rigorózně matematická, nicméně je poučná a názorná.

Když se podíváme na konkrétní funkci, vidíme, že nulový gradient (a teď to neodhaduji, ale spočítám), je v bodech, kde je sinus x i y roven nule, tedy v bodech [kπ, lπ] , k,l celá. Tyto body tedy představují síť pravidelnně na mapě rozloženou a budou to body na křížení přímek (typově D, H) a uprostřed odpovídajících diamantů /tím myslím "káro", čtverec postavená na špičku), typově A,B. To mohou bát minima, maxima nebo sedlové bodyto už je, krom toho, že je to názorné, i teoretický matematický výsledek A teď co je co? V těchto bodech jsou kosíny rocnu plus nebo minus jedné. Tam, kde jsou oba stejné, je f (x,y)¨rovno plus nebo minus dvěma a jde evidentně o ostré maximum (v prvním případě) a minimum (ve druhém případě), Jsou-li znaménka opačná, je hodnota funkce nulová a pohybujeme-li se při pevném x ve směru osy y, resp. při pevném y ve směru x, bude v jednom případě funkce vzrůstat, ve druhém klesat a tedu zde bude sedlováý bod.

Takže závěr: nulový gradient je v bodech A,B, D,H a v žádném jiném z vyznačených bodů. (Navíc jsme zjistili, že ty přímkové hladinu jsou hleadiny s nulovou nadmořskou výškou a že jejich stacionární body (to je stručný název pro body s nulovým gradientem (matematicku), respektive "vudorovná místa v terénu" (horolezecky)) a představují sedlové body. ALe to už je nad zadání, má to smysl pro lepší názornou představu.)

Ty ostatní úlohy, to je záležitost výpočtu a vrátím se k nim v další odpovědi. Snad jedině byste mohl napsat, jestli vám tyto úlohy jsou zcela nejasné, nebo jestli vám to říká aspoň něco, a co.

Snad jen doplním, že to tvrzení o sedle třeba v bodě H jesm uvedl jen jako příklad, i když následná analýza to potvrdila; klidně bu to mohl být i vrcholek. No, to by vlastně odpovídalo těm dvěma křížícím se hřebenům. A stejně jde jen o názorný popis.

Vlastně je to trochu jinak, ty vrsevnice samozřejmě nevedou průsmykem ale někde po úbočí a prusmyk vede nekde mezi nimi.

Tak k těm dalším příkladům: V příkladě 2 spočtete tu Hessovu matici, tedy vlastně spoštete parciální derivace druhého řádu, dosadíte do ní (do nich ) x = y = 0 a hned vidíte. Kupříkladu pro f(x,y) = xy jsou první derivace : podle x...y, podle y...x, takže druhé derivace podle jedné proměnné budou nulové, to je dobré, ale smíšené derivace budou rovny jedné pro každé x a y, takže tato funkce nevyhovuje.

V příkladě 3 nutnou podmínkou je nulvost gradientu, tedy x + A = 0, po dosazení A = 1; podobně pro B. Pak už jen zbývá ověřit, že jde skutečně o globální maximum, což nejlépe provedeme doplnění na čtverec.

V dalším příkladě opět můřeme začít ověřením nutné podmínky a dále pak pracovat s Hessovou maticí , ale zde je jednodušší přímé ověření. Vycházíme z toho, že kvadrát je vždy nezáporný, pro nenulový základ dokonce kladný. Podobně v tom posledním příkladu.

Oprava:

V příkladě 3 nutnou podmínkou je nulvost gradientu, tedy 2x + A = 0, po dosazení A = 1/2