Jak na funkce?

Od: Datum: 05.05.14 08:00 odpovědí: 3 změna: 05.05.14 18:08

Poradil by mi někdo prosím s vyřešením těchto příkladů? Nebo jak se dostanu ke správnému řešení? Děkuji moc



Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Datum: 05.05.14 10:45
avatar

Co se týče toho prvního příkladu, neco lze vysoudit už z obrázku bez znalosti konkrátní funkce, když se na něj podívám jako na mapu s vrstevnicemi a představím si ocpovídající terén. Pak je celkem zřejmé, že bidy s nulovým gradientem budou v bodech A a B, což je byď vrchol kopce, kam jste vylesl pmožná po spádnici, tedy napříč vrstevnicím, a jste na vyhlídce, nebo naupak dno propasti; no a pak taky v bodech H a D, to jsou body, kde jsou nulové derivace ve dvou směrech, daných křížícími se vrstevnicemi (hladinami). Pro horolezce to znamená, že jsme v sedle a ty dvě křížící se vrstevnice vedou průsmykem, například, anebo se tam kříží dva hřebeny. Samozřejmě to je taková spíš heuristická úvaha k názorné představě, a hlavně bez podrobnější znalosti o zkoumané funkci nemůžeme vyloučit další body, nepříklad taková bod E bo taky mohl být bod s nulovým gradientem, kdyby příslušná vrstavnice představovala například okraj kráteru. No a taky to není úvaha rigorózně matematická, nicméně je poučná a názorná.

Když se podíváme na konkrétní funkci, vidíme, že nulový gradient (a teď to neodhaduji, ale spočítám), je v bodech, kde je sinus x i y roven nule, tedy v bodech [kπ, lπ] , k,l celá. Tyto body tedy představují síť pravidelnně na mapě rozloženou a budou to body na křížení přímek (typově D, H) a uprostřed odpovídajících diamantů /tím myslím "káro", čtverec postavená na špičku), typově A,B. To mohou bát minima, maxima nebo sedlové bodyto už je, krom toho, že je to názorné, i teoretický matematický výsledek A teď co je co? V těchto bodech jsou kosíny rocnu plus nebo minus jedné. Tam, kde jsou oba stejné, je f (x,y)¨rovno plus nebo minus dvěma a jde evidentně o ostré maximum (v prvním případě) a minimum (ve druhém případě), Jsou-li znaménka opačná, je hodnota funkce nulová a pohybujeme-li se při pevném x ve směru osy y, resp. při pevném y ve směru x, bude v jednom případě funkce vzrůstat, ve druhém klesat a tedu zde bude sedlováý bod.

Takže závěr: nulový gradient je v bodech A,B, D,H a v žádném jiném z vyznačených bodů. (Navíc jsme zjistili, že ty přímkové hladinu jsou hleadiny s nulovou nadmořskou výškou a že jejich stacionární body (to je stručný název pro body s nulovým gradientem (matematicku), respektive "vudorovná místa v terénu" (horolezecky)) a představují sedlové body. ALe to už je nad zadání, má to smysl pro lepší názornou představu.)

Ty ostatní úlohy, to je záležitost výpočtu a vrátím se k nim v další odpovědi. Snad jedině byste mohl napsat, jestli vám tyto úlohy jsou zcela nejasné, nebo jestli vám to říká aspoň něco, a co.

doplněno 05.05.14 10:57:

Snad jen doplním, že to tvrzení o sedle třeba v bodě H jesm uvedl jen jako příklad, i když následná analýza to potvrdila; klidně bu to mohl být i vrcholek. No, to by vlastně odpovídalo těm dvěma křížícím se hřebenům. A stejně jde jen o názorný popis.

doplněno 05.05.14 12:04:

Vlastně je to trochu jinak, ty vrsevnice samozřejmě nevedou průsmykem ale někde po úbočí a prusmyk vede nekde mezi nimi.

Ohodnoceno: 2x
 
Datum: 05.05.14 18:08

Tak to je opravdu velmi kvalitní vysvětlení! Děkuji za něj, pro ty co nejsou až tak matematicky vzdělaní, tak těm to jistě jako mě pomůže tahle názorná představa. Na přednášce nám to přednášející vysvětloval a i jsem si "v duchu" myslel, že by to mohlo být tak jak jste napsal, že správné odpovědi budou ty 2 vrcholy a 2 sedla, ale právě jsem si to neuměl matematicky dokázat, že tomu tak opravdu je.

Abych řekl pravdu, tak u těch následujících dvou příkladů nevím od čeho se odpíchnout.

K těm posledním dvěma příkladům jsem našel celkem pěkně zpracovanou stránku:
http://user.mendelu.cz/marik/mat-web/mat-webse6.html

Zkusím si jí projít a pokud možno na to přijít sám, kdyby se to nepovedlo, tak se tady ještě ozvu, ale děkuji prozatím moc za důkladné vysvětlení!

Datum: 05.05.14 17:47
avatar

Tak k těm dalším příkladům: V příkladě 2 spočtete tu Hessovu matici, tedy vlastně spoštete parciální derivace druhého řádu, dosadíte do ní (do nich ) x = y = 0 a hned vidíte. Kupříkladu pro f(x,y) = xy jsou první derivace : podle x...y, podle y...x, takže druhé derivace podle jedné proměnné budou nulové, to je dobré, ale smíšené derivace budou rovny jedné pro každé x a y, takže tato funkce nevyhovuje.

V příkladě 3 nutnou podmínkou je nulvost gradientu, tedy x + A = 0, po dosazení A = 1; podobně pro B. Pak už jen zbývá ověřit, že jde skutečně o globální maximum, což nejlépe provedeme doplnění na čtverec.

V dalším příkladě opět můřeme začít ověřením nutné podmínky a dále pak pracovat s Hessovou maticí , ale zde je jednodušší přímé ověření. Vycházíme z toho, že kvadrát je vždy nezáporný, pro nenulový základ dokonce kladný. Podobně v tom posledním příkladu.

doplněno 05.05.14 18:02:

Oprava:

V příkladě 3 nutnou podmínkou je nulvost gradientu, tedy 2x + A = 0, po dosazení A = 1/2

Ohodnoceno: 2x
 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.