A opět komplexní čísla

Od: Datum: 11.04.14 15:51 odpovědí: 12 změna: 22.04.14 12:46

Zase potřebuji nakopnout s příkladem.

Naleznete hodnotu parametru a, c € C tak, aby polynom

az2 + (-6+10i)z + c

mel koreny 2 — 3i a i. Nasledne reste rovnici

cz2 + (-6+10i)z +a = 0

Tady bych čekal nějak dosazení kořenů do rovnice a z nich získání a a c. Asi něco jako:

x1,2 = ( -(-6 +10i) +/- √((-6 + 10i)2 -4ac) ) / 2a

Co mě mate: jednak jsem myslel, že kořeny v komplexní rovině jsou čísla sdružená, což tady není (a nebo mi to nějak uniká). A za druhé - z té podoby rovnice, co jsem vytvořil nevím, které číslo odpovídá kořenu + a které mínus v rovnici.


Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Datum: 11.04.14 17:03
avatar

Ono ta sdruženost komplexních kořenů je vlastnost kvadratických rovnic s reálnými koeficienty, jsou-li koeficienty komplexní, mohou být kořeny jakékoli.

Co se týče plus a mínus: to máte jedno, jakýsi rozlišovací význam to má tehdy, když bysta znaménkem plus chtěli označit kladnou odmocninu, ale komplexní číslo, které není reálné, není ani kladné ani záporné. Například odmocnina z mínus jedné se označuje i, ale také -i je odmocnina z mínus jedné, prostě na to nekoujejte.

Jiná věc je, že odmocňovat výraz, který sám obsahuje i, sice jde, ale byly by s tím zbytečné komplikace a hlavně z toho vašeho zápisu nejsou nějak jasně vidět podmínky k určení a a c . Možná bychom se k nim nejak dopracovali, ale jednodušší bude napsat rovnici se známými kořeny z1,2 ve tvaru součinu kořenových činitelů:

(z - z1)(z -z2) = 0

Ono ovšem, když dosadíte z1= 2 — 3i a z2 = i, tak vám koeficient u z nevyjde -96+10i (a koeficient a bude 1). Tak tu rovnici nečím vynásobíte tak, aby ten koeficient u z byl takový, jaký potřebujete, a z výsledku odečtete a a c.

Ohodnoceno: 3x
 
Od: zip42*
Datum: 13.04.14 10:10

Díky za vysvětlení, s těmi koženy mě nějak nenapadlo. Ani tohle řešení, nemám komplexní čísla zažitá.

Jen si teď nejsem úplně jistý, jak to dosadit do toho vzorečku. Zas mi chybí nějaký základ, protože to zjevně dělám blbě. :( (tyhle příklady jsou super na snižování sebevědomí, které v tomto stejně nemám.)

z = x + yi

((x + yi) - (2 - 3i)).((x + yi) - (0 + i)) = 0

((x-2) +(y+3)i).(y+1)i = 0

- (y2 + 4y +3) + (xy + x -2y -2)i = 0

Datum: 13.04.14 15:51
avatar

Zkusím to (tu první část) předvést na konktrétních čísel ze zadání. Zatím bych to z nerozděloval na x + iy. a mám tedy

(z - ( 2 — 3i ))(z -i) = 0

z² - (2 + 2i) z +3 +2i

Já ale potřebuji, aby u z byl koeficient (-6+10i). Tak celou rovnici tímto číslem vynásobím a vydělím ji -2-2i, tedy vynásobím ji číslem (6-10i/(2+2i) = (-6+10i)*(2 - 2i)/8. To pak bude a, a součin tohoto čísla s 3+2i bude c. (Raději si to překontrolujte, počítám to vše zpaměti.) No a tuhle rovnici pak upravím dle zadání a řeším. Ale všimněte si jedné věci:když ji vydělíte z2, a položíte substituci 1/z = w, dostaneme tu rovnici, ze které jste vycházel, jen neznámá bude označena w.

Ohodnoceno: 2x
 
Od: zip42*
Datum: 14.04.14 17:45

Díky moc. Zkusil jsem to přepočítat sám (roznásoboval jsem to podle (a1b1 - a2b2)+(a1b2 + a2b1)i ) a vyšlo mi to krapet jinak ( 2z2 - (2 + 3i)z +3 +2i = 0 ), tak jsem pochopitelně hledal chybu u sebe, ale nevidím ji. Rozepsáno dle nejmenších kroků:

((z - 2).z - (z - 3i).(-i)).((z - 2).(-i) + (z -3i).z) = 0

((z2 - 2z) - (- zi - 3)) + ((- zi + 2i) + (z2 + 3zi)) = 0

z2 - 2z + zi + 3 -zi + 2i + z2 + 3zi = 0

2z2 - 2z + 3zi + 3 + 2i = 0

2z2 - (2 + 3i)z +3 +2i = 0

Takže jsem ji celou vydělil 2. Tam jsem nepochopil, proč jste rovnici dělil zápornou hodnotou argumentu u z, přece na to se nemusí znaménko obracet.. Ale obšlehl jsem to a pokračoval: (-6 + 10i)/(-1 - 3i/2) = (-6 + 10i).(-1 - 2i/3) = (6 + 20/3) + (-10 + 4i) = 38/3 - 6i

(38/3 - 6i).(-6 + 10i) = (-76 + 60) + (380/3 + 36)i = -16 + 488i/3

Nevím, jestli tam mají vycházet "hezká" čísla, takže jestli to je nebo neni příznak chyby. te se jdu pustit do té kvadratické rovnice a uvidím, co mi vyjde za zvěrstva. Každopádně díky moc za setrvalou pomoc.

Datum: 14.04.14 18:23
avatar

Ovšemže tam máte chybu. Když roznásobujete dva lineární dvojčleny , které oba začínají na z (v první mocnině, s koeficientem rovným 1), tak součin musí být kvadratický trojčlen (někdy to bude dvojčlen) začínající na z2, ta dvojka v koeficientu tam prostě nemá odkud vzniknout. Vašemu postupu poněkud nerozumím, pokusím se ho nějak dešifrovat, ale mám podezření, že si neuvedomujete, že z je komplexní číslo (vaše násobící pravidlo se týká součinu komplexních čísel (a1 + a2i)*(b1 + b2i). Jinak komplexní čísla můžete násobit úplně stejně jako reálná, k tomu vašemu vzorci saháme v okamžiku, kdy chceme součin vyjádřit v základním aritmetickém tvaru. Ilustrováno na vašem vzorci: máte-li komplexní čísla a = (a1 + a2i), b =(b1 + b2i) a chcete je znásobit, můžete ten součin napsat jako a*b, a potřebujete-li (ale v našem případě to vcelku nepotřebujeme) rozepsat součin pomocí složek, napíšete prívě to vaše (a1b1 - a2b2)+(a1b2 + a2b1)i.

Zatím to odešlu, i když neúplné, dřív, než se mi to ztratí.

doplněno 14.04.14 18:39:

K tomu dělení: Jak pravím, rovnice začíná druhou mocninou z a ne jejím dvojnásobkem, takže ji žádnou dvojkou dělit nebudete. (Navíc i kdyby tam ta dvojka vyšla, není důvodů, proč s ní rovnici dělit. Upravujete koeficient u z, koeficient u z² vám vyjde.) A nerozumím, čemu nerozumíte v mém postupu. Já mám u z koeficient - (2 + 2i) = - 2 - 2i a tím to dělím, aby mi na tom místě vyšla jednička. Tu pak následně násobím tím, co tam mít potřebuju, kde máte nějaké dělaní zápornou (když už, tak opačnou, pro komplexní čísla pojem "záporný" jaksi ztrácí smysl) hodnotou?

doplněno 14.04.14 19:01:

Zkoušel jsem to pochopit, jak jste to násobil, ale prostě tomu nerozumím. Zahoďte ten výpočet a začněte znova.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: zip42*
Datum: 14.04.14 19:34

Acho jo a to jsem si s tím dal práce... Radši to ani nebudu říkat, abych nebyl za ještě větší trubku. Ale je zjevné, že mi komplexní čísla unikají víc, než jsem myslel, někde mi chybí něco, co nezapadlo. No nic, jdu pokračovat, dokud je chvíle času. Díky

doplněno 14.04.14 19:37:

Jasně, ta mínus závorku jsem přehlédl. Nebo možná mi to bylo jasné při prvním čtení včera, ale jak jsem to dneska začal počítak, nějak mi to vypadlo nebo jsou se soustředil na jiné části.

A jo, asi ej chyba v tom blbém roznásobování, podle nevhodného vzorečku.

doplněno 14.04.14 22:33:

Tak možná jsem fakt úlpně pitomý, ale i když jsem myslel, že po tom šťouchnutí se mi trochu zablesklo, pořád mi vychází, že po tom roznásobení kořenů by mělo být v závorce (2-2i), tedy

z2 - z.(2 - 2i) + 3 + 2i = 0

Je možné, že jste se jen upsal, já se ale radši bojím pokračovat.

Datum: 14.04.14 23:35
avatar

Tentokrát máte pravdu, jak říkám, dělal jsem to zpaměti (ale i tak jsem to neměl takto napsat). A následně jsme si nerozuměli; vám v podstatě nebylo jasné, proč je ten koeficient u z roven - (2 + 2i) . kdežto já jsem se domníval, že se divíte, proč tím koeficientem dělím, pčedpokládaje, že ho mám správně, prostě jsme si nerozumněli. Teď už tedy máte správný výchozí tvar, budete tedy rovnici násobit výrazem

(-6+10i)/(2 -2i) = (-6+10i)*(2 +2i)/8

ale to jistě umíte,

Ohodnoceno: 2x
 
Od: zip42*
Datum: 15.04.14 00:47

Jo, díky moc. Já se jen přehlédl a pak jsem byl přetažený, takže jsem tam dal tu pitomou zmínku. Na tu úpravu jsem se radši optal, protože prostě si si nevěřím ani 1+1. Jinak jsem to dotáhl k výsledku (a = 4 - i; c = 14 + 5i) a tu kvadratickou rovnici si nechám na zítra (jestli budu mít čas), snad to nějak vymyslím. (A když ne, zas budu prudit.)

Díky moc za trpělivost.

Od: zip42*
Datum: 16.04.14 23:01

Myslel jsem, že to dám, ale ještě pořád ne. :( Chybí mi jen poslední krůček: nevím, jak řešit kvadsatickou rovnici, když je tam součin komplexního čísla v "zabalené" podobě a rozložené na komplexní a imaginární část. Přece není možné to jen tak roznásobit... Nebo mě napadlo (ale určitě je to totální blbost) rozdělit to na 2 kvadratické rovnice - pro reálnou a imaginární část. Ale to by pak znamenalo, že má 4 kořeny a nebo pak nějak sloučit za tu racionální a imaginární část?

(14 + 5i)z2 + (-6 + 10i)z + 4 - i = 0

14 z2 - 6z + 4 = 0

D1 = (-6)2 - 4.14.4 = -260

x1,2 = (6 +/- √(-260)) / 28 = 6/28 +/- i(√260)/28 = 3/14 +/- i (2√65)/28 = 3/14 +/- i(√65)/14

5iz2 - 10iz - i = 0

D2 = (-10)2 - 4.5.(-1) = 120

x3,4 = (10 +/- √120)/10 = 1 +/- (√30)/5

Když mi řeknete, že jsme úplně mimo, hádat ani zlobit se nebudu

Datum: 16.04.14 23:36
avatar

Já se na to podívám, co k tomu napsat, teď už je pozdě. Ale to rozdělení opravdu není to pravé ořechové. Vy jste to nerozdělil na rovnici pro reálnou a imaginární část, na ty části jste rozdělil koeficienty a z vám vyjde, jak vyjde, obecně komplexní. Já to rozeberu zítra.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: zip42*
Datum: 21.04.14 11:01

Tak jsem na to sednul znovu a zkusil zas, kdy jsem rozložil z a pak to po částech. Jenže z toho stejně nejsem moudrý, nevím, jak s tím hnout dál

(14 + 5i)z2 + (-6 + 10i)z + 4 - i = 0 z = (a +bi)

(14 + 5i)(a + bi)2 + (-6 + 10i)(a + bi) + 4 - i = 0

(14 + 5i)(a2 + 2abi - b2) + (-6 + 10i)(a + bi) + 4 - i = 0

14 a2 + 28abi - 14b2 + 5ia2 - 10ab - 5ib2 - 6a - 6bi + 10ai - 10b = 0

14 a2 - 6a - 10ab - 10b - 14b2 + ( 5a2 + 10a + 28ab - 6b - 5b2)i = 0

Pak by se to asi dalo rozložit na 2 rovnice - pro reaálnou a imaginární část, ale stejně nevím, jak na ně.

Datum: 22.04.14 12:46
avatar

Já bych to nerozděloval, dostanene místo jedné rovnice dvě, obě kvadratická, které by sice měly mít reálné řešení, ale od pohledu to není tak jasné a jejich řešení bude komplikované. Zůstal bych u rovnice

az2 + bz + c =0 s řešním z12= (-b ±√(b2-4ac))/2a

a odvozené rovnice

cw2 + bw + a = 0

s řešením w12= (-b ±√(b2-4ac))/2c. (Pro jasnější vyjadřování jsem zde neznámou označil w.)

Sice to vypadá, že bydu muset odmocňovat komplexní čísla, ale jednak i to lze, a hlavně tady máme spoustu informací navís. Víte, že a = 4 - i , b = (-6 + 10i) a c = (14 + 5i), a co víc, víte, že z1 = i, z2 = 3-2i (tak byla původní rovnice konstruována, takže ji nemusíte řešit; chcete-li můžete udělat zkoušku, což doporučuji). Ta odvozená rovnice je původní podobná a hlavně, vzorce pro řešení jsou skoro stejné, liší se jen v tom, že jednou dělím a, po druhé c. Takže by melo být

w1 = z1*a/c, w2 = z2*a/c.

Jinak ještě jednodušší postup je, tu rovnici pro w vydělit w2 a zavést substituci 1/w = z.

Ohodnoceno: 0x
 

 

 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.