Komplexní čísla a goniometrická funkce

Od: Datum: 06.04.14 16:58 odpovědí: 16 změna: 09.06.14 09:49

Zdravím, nemáte někdo představu, jak na příklad: Vyjádřete sin5x jako lineárni kombinaci funkcí sin kx a cos kx, k patří do N0. Prvně mě napadlo zkusit to přes Moivreovu větu, ale to asi není cesta...

Budu vděčný i za nasměrování, nechci to vysloveně spočítat...

Díky


Seznam odpovědí:
 
moment čekejte prosím, probíhá přenos dat...
Zobrazení struktury odpovědí v otázce
Skrytí struktury odpovědí v otázce
Zobrazení struktury odpovědí v otázce

 

Odpovědi na otázku:
Datum: 06.04.14 17:15
avatar

Ale je, v kombinaci s binomickou poučkou.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: zip42*
Datum: 06.04.14 17:23

Díky. Hm.. Tímhle směrem jsem uvažoval, ale marně. Pro zn -a =0 mi chybí to a a tu variantu k-tá odmocnina |a| . (cos (alfa + 2kpi)/n + isin... ) tam nevidím, asi jsem na to tupý.

Těch příkladů z komplexních čísel tu mám několik a musím si přiznat, že v nich krapet plavu.

Datum: 06.04.14 20:11
avatar

Nejlépe vzít a =1.

Prostě (cos x + i sin x)n = (cos nx + i sin nx) (Moivre) a vlevo nasadím binomickou větu.

doplněno 06.04.14 20:21:

Opakovaně, pro různá n

Ohodnoceno: 2x
 
Od: zip42*
Datum: 06.04.14 20:33

Díky, zkusím to. uvidím, co mi vyleze.

Takže je to vlastně pro n € {1,2,3,4,5} a z těch jednotlivých výsledků udělat sumu?

Datum: 06.04.14 21:10
avatar

Nějakou vhodnou sumu, to by šlo zkusit. Já bych spíš začal pro n = 5. odsud bych vypočítal sin5x jako sin 5x plus kombinace sin kx a cos kx a pak bych zkusil n = 4 k výpočtu sin 4x a cos 4x a tak bych to snižoval. Bude to chtít trochu zapracovat, případně s použitím goniometrické jedničky.

Možná existuje nějaký rychlý trik, ale to bych se musel zamyslet.

Ohodnoceno: 2x
 
Od: zip42*
Datum: 06.04.14 21:34

A ještě jedna (možná blbá) otázka. V Moivreovi je koeficient stejný, jako mocnina (tedy (...)5 = (...5x) ).

Ale v zadání mám jasně dané sin5x, ale pak je k patří do N0. Tedy i 8 nebo třeba 7456... Takže nevím, jak to slepit dohromady.

Datum: 07.04.14 10:19
avatar

To "k patří do N0" je míněno tak, že můžete taková k využít, ale ne nutně všechna. Z podstaty věci vyplývá, že budete potřebovat maximálně k on nuly do pšti.

Ohodnoceno: 2x
 
Od: zip42*
Datum: 07.04.14 11:49

Díky, to mi nedošlo.

Od: zip42*
Datum: 07.04.14 23:22

Tak jsem asi úplně blbý nebo ztracený, ale nějak jsem se utopil. Udělal jsem Moivreovu větu a pak binomicklý rozklad:

(cos x + i.sin x)5 = (cos 5x + i.sin 5x)

cos5x + 5.cos4x.i.sin x + 10.cos3x.(i.sin x)2 + 10.cos2x.(i.sin x)3 + 5.cos x.(i.sin x)4 + (i.sin x)5 = (cos 5x + i.sin 5x)

i.sin5x = (cos 5x + i. sin 5x) - cos5x - 5i.cos4x.sin x +10.cos3x.sin2x + 10i.cos2x.sin3x - 5.cos x.sin4x

Jenže nějak nevím, jak to rozebrat dál. Toho cos5x se normálně nezbavím a i další rozkládání mi přijde hodně kostrbaté: u členů se 4 mocninou vytknu -5.cos x.sin x a dostanu:

- 5.cos x.sin x(i.cos3x + sin3x) -> ale tam těžko nasadím Moivreovu větu, když je prohozený reálný a imaginární člen (je to jakoby otočené o 90o). A u zbývajících vytknu 10.cos x.sin x a dostanu 10.cos x.sin x(cos2x.sin x + i.cos x. sin2x) nebo vytknu 10.cos2x.sin2x a budu mít 10.cos2x.sin2x(cos x + i.sin x). Ale v každém případě se cítím v koncích, nemám pocit, že by mě to někam posouvalo.

Datum: 08.04.14 12:47
avatar

Toho cos5 x se zbavíte tak, že vezmete imaginární část:

sin5x = - sin 5x + 5cos4x sin x - 10cos2x.sin3x

a pak bych zkusil pokračovat ze vztahu

(cos x + i.sin x)4 = (cos 4x + i.sin 4x)

s využitím goniometrické jednotky

sin 4 x = (1- cos2x)2

ale moc se mi to nelíbí. Zkusím vymyslet něco elegantnějšího.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: zip42*
Datum: 08.04.14 23:23

Díky. Já jsme komplexní čísla ani goniometrikcé fce nikdy extra moc nebral a teď to na mě spadlo nějakých 25 let po škole, takže dost plavu. Snažím se to co nejvíc spočítat sám, ale asi si musím přiznat, že narážím na hranice svých současných možností a ani nevím, kde se to nějak doučit, aby to bylo co nejrychleji (nemám teď kapacitu třena nastudovat knihu).

Datum: 09.04.14 10:58
avatar

Ono by to asi mělo jít přes tu Moivreovu poučku, ale nějak nevím, jak to udělat lehce. Takže bych to zkusil "zednicky":

Napíšu sin5 x = sin x (sin2 x)2 a jmu se exploatovat vzorečky:

Platí sin2 x = ½ (1 – cos 2x)

Když to umocním na druhou, budu pracovat s výrazem 1 - 2 cos 2x + cos2 2x (respektive s jeho jednou čtvrtinou) a ten poslední člen upravím stejným způsobem jako ½ (1 +cos 4x). Teď už je to skoro ono, jen to musím vynásobit sinem x, a tam, po roznásobení, použiji vzoreček

(sin α;)(cos β;) = ½ [sin (α+β;) + sin (α-β;)]

Pak už by to měla být jen technická záležitost.

Trochu otázka je, jak na ty vzorce přijít. Někdo si je i všechny pamatuje, někdo aspoň ví, že nějaké takové vzorce existují a pak už si je někde najde Možná by bylo vhodné paatovat si aspoň vzorešky pro g.f. součtu a rozdílu a o těch ostatních mít představu, pak už jdou z těch součtových vzorečků odvodit. (Jinak, ono mezi goniometrickými funkcemi lze najít hafo vztahů a je velká šance, že mezi nimi najdu to, co potřebuji.)

Ohodnoceno: 0x
 

 

Od: zip42*
Datum: 09.04.14 16:08

Díky moc, zkusím se tím probrat. Tohle mi ale už přijde pochopitelné, alespoň teď v náhledu.

Já vím, že existují ohromné mraky goniometrických vzorců. A příznám, že si je nepamatuji, snad jen vím, že učitečné je sin-cos 2x, na druhou a pak sin2 + cos2 je 1. Ale zkoušel jsem hledat a nenašel jsem. Na druhou stranu - když to je jako příklad (a že i ty ostatní jsou, alespoň pro mě, docela pekelné), tak bych ani nečekal, že to bude prosté dosazení do vzrorce, byť třeba méně obvyklého.

Od: zip42*
Datum: 10.04.14 23:38

Ten čas je peklo... Konečně byl čas tento večer a nakonec jsem to rozložil na sin5x = 1/16 (10sin x + 5sin 3x + sin 5x) . Zkoušel jsem se podívat na Wolfram Aplha a ten dokonce tento výsledek přímo nabízí jako alternativu k sin5x. Sice je zvláštní, když můj výsledek dám hlesat WA, tak nakreslí jiný graf, ale tím se nenechám rozhodit.

Díky moc za pomoc a trpělivost...

(Mám ještě pár příkladů zkomplexních čísel, ale až je sem bojím už dát)

Datum: 11.04.14 09:47
avatar

Ale klidně je sem dejde, ať je legrace

doplněno 11.04.14 09:57:

Jinak, pokud nabízí jiný graf, je to signál, že něco je špatně. Tak jsem se podíval, sice jsem to nepřepočítával, ale WA má ve své nabídce alternativní podoby před druhým členem (tedy před 5 sin(3x) ) znaménko mínus.

Ohodnoceno: 0x
 
Od: zman32
Datum: 09.06.14 09:49

tohle se podle mne resi pres exponencialni tvar. Kdy sin a = (e^ia - e^(-ia))/2i a cos a = (e^ia + e^(-ia))/2

takze sin^5 a = ten vyraz nahore na patou, coz uz se pres binomickou vetu rozlozi a pak tam vzniknou dvojice tech exponencialnich tvaru, ktere dohromady daji cos ci sin a ci k*a

Ohodnoceno: 0x
 

 

 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz

 
Copyright © 2004-2016 Poradna Poradte.cz. Všechna práva na poradně Poradte.cz vyhrazena.