Jak vypočítat objem tělesa?

Na tom grafu ti ty tři přímky ohraničují malý trojúhelník (má strany 1, 1, odmocnina ze 2).

No a tento trojúhelník necháš rotovat kolem osy x a vytvoří ti těleso.

matematika

01.04.23 17:29

Takže to bude trojboký hranol?

riva

01.04.23 17:53

Rotací trojúhelníku okolo osy ležící mimo něj zajisté nevznikne trojboký hranol. Počítá se to obvykle integrací, ale pokud se integrály ještě neberou, tak se toto jednoduché těleso vzniklé rotací rozdělí na několik jednodušších a z nich se to poskládá. Tady jde třeba objem komolého kužele a od něj odečíst válec (tu "díru" uprostřed).

matematika

01.04.23 16:19

Tady vkládám otočenou fotku

matij

01.04.23 16:39

Jo, těleso vznikne otáčením, ale.. nemá tam být z=1?

matematika

01.04.23 16:48

V zadání je napsané, že y=1...

mathew

01.04.23 16:58

No tak je to zadání špatně. I to se stává.

01.04.23 23:01

Co je to za nesmysl, z=1? Zadání je samozřejmě dobře.

mathew

01.04.23 16:57

Až přijdu na to jak se počítá objem v dvojrozměrném prostoru tak ti klidně poradím. Nejdříve si teda, ale asi zajdu pro Nobelovku.

matij

01.04.23 17:00

Asi i já, tak se ptám- nemáš třetí rozměr..-nezapomínej, že je apríl...

matematika

01.04.23 17:02

Nejspíše tam má být tedy asi doopravdy z=1, prekreslila jsem to tedy znovu... nebude to hranol? Děkuji moc za rady

01.04.23 23:08

Co mas furt s hranolem? Rotaci prece vznika kruhovy pudorys

sas

01.04.23 17:38

No nevim,když nechám rotovat v ose x jestli to nebude kužel...,že ti strana trjúhelníku opíše kružnici v ose x, nebo se mýlím?

01.04.23 23:53

Jedna ze stran (ta svislá) opíše kruh.

02.04.23 00:29

Sorry jen jedna; ta druhá mezikruží.

01.04.23 23:07

Rotační těleso bude samozřejmě kužel. Takže integracemi bylajít kanonem na mouchu
doplněno 02.04.23 00:31: Pardon, komolý kužel
doplněno 02.04.23 00:31: Pardon, komolý kužel

02.04.23 00:25

Obrazec omezený danými křivkami je trojúhelník s vrcholy [0;1], [0;2] a [1;1].
Rotací nevznikne kužel (sorry), ale komolý kužel s vyňatým válcem. Stačí to takhle?

lmgify

02.04.23 04:27

Konečně to někdo popsal správně.

Objem je tedy:

V = π.∫₀¹ f² - g² dx

kde f(x) = 2-x

g(x) = 1 (viz zadání y=1)

V = π.∫₀¹ (2-x)² - 1² dx = π.∫₀¹ 3 - 4x + x² dx = π.[3x - 2x² + x³/3]₀¹ = π.(3-2+1/3) = 4π/3

Snad jsem někde neudělal chybu.

lmgify

02.04.23 04:36

Náčrtek zadání

matematika

02.04.23 14:01

Děkuji moc, pomohl jste mi

lmgify

03.04.23 00:10

Jen pro úplnost přidám i to znázornění rotace pro ty, kteří si to nedovedou představit.

Skočit na otázku
Vložit novou otázku

sas

02.04.23 09:25

I já děkuji za vysvětlení. Deskriptiva a představivost u mne se limitně blíží 0, ale kružnice tam je.

herd®

02.04.23 16:03

A existuje na to i vzorec:
Konkrétní případy výpočtu objemu rotačního tělesa
1_ en.wikipedia.org/...
2_ en.wikipedia.org/...
jednička je integrace přes mezikruží - známe y(r)
dvojka je integrace přes podstavy - známe r(y)
ony sice jdou převés mezi sebou(pokud jde o monotóní funkci )- ne vždy to jde a musí se integrovat jedním způsobem
Obecněji zde:
en.wikipedia.org/...

02.04.23 22:40

@lmgify spočtal výsledek (dobře a bezchybně)metodami integrálního počtu, když použil vzorec provýpočet objemu rotačníhotělesa.

Máme ovšem co do činění s elementárními telěsy a tak bych uvedl výpočet pomocí vzorečků elementární geometrie.

Náš komolý kžel vznikne tak, že od rotačníhokužele s poloměrem základny 2 a výškou 2 odřízneme kužel se základnou o poloměru 1 a výškou 1. no a vyňatý válec má výšku 1 a poloměr1. Vlastní výpočet (který ponechám laskavému štenáři) potvrdíkiolegův integrální výpočet.

lmgify

03.04.23 00:00

Pěkné vysvětlení výpočtu bez použití integrálního počtu.

Pokud by to snad někdo byl líný počítat, tak tady to je:

V = (1/3).π.r₁².h₁ - (1/3).π.r₂².h₂ - π.r₂².(h₁-h₂)

V = (1/3).π.2².2 - (1/3).π.1².1 - π.1².(2-1)

V = (8/3).π - (1/3).π - π

V = (4/3).π