Rovnice a Limity

K zápočtové úloze 9:

K prvnímu příkladu:

3x + 1 napsat jako odmocninu z (3x + 1)²

Takže nad zlomkovou čarou i pod zlomkovou čarou je odmocnina

Lze napsat jednu odmocninu ze zlomku (3x² - 1) / (3x + 1)²

Zlomek (3x² - 1) / (3x + 1)² je

(3x² - 1) / (9x² + 6x +1)

každý člen vydělit x²

pak je zlomek (3 - 1/x²) / (9 + 6/x + 1/x²)

limita tohoto výrazu když x se blíží nekonečnu je 3/9 což je číselně 0,3333333 periodických

Protože je to v odmocnině, tak odmocnina z 0,3333333333 jepřibližně 0,577

Přesný výsledek té limity je odmocnina z 1/3

Goniometrická rovnice

Výraz cos(2x) uprav podle vzorce z tabulek a pro číslo 1 použij vztah sin²(x) + cos²(x) = 1.

Druhá limita

Pomocí parciálních zlomků.

LImita s odmocninou

Čitatele i jmenovatele vyděl x.

První příklad zápočtové úlohy 9 by asi měl být řešen L Hospitalovým pravidlem, viz. např. článek na wikipedii

cs.wikipedia.org/...

Tedy zderivovat zvlášt čitatel zlomku a zvlášt jmenovatel zlomku a znova dosadit dané číslo nebo nekonečno.

Je možné to dělat opakovaně.

Př. 1 zkusím zpočítat večer

Př. 2)

asi by to mělo být spočíáno vydělením toho trojčlenu tím dvojčlenem a dosazením čísla 3, přičemž je potřeba spočítat limitu zprava i limitu zleva

(x² + 2x - 5 ) děleno (x - 3) = x + 5 + 10/(x-3) =

limita zprava je x + 5 + 10/(x-3) = 3 + 5 + nekonečno = kladné nekonečno nekonečno

limita zleva je x + 5 + 10/(x-3) = 3 + 5 - nekonečno = záporné nekonečno

Protože limita zprava se nerovná limitě zleva, tak limita v daném bodě neexistuje.

Je to jeden z případů uvedených na str. 2 zde

user.mendelu.cz/...

Jak se označují limity zleva a zprava je uvedeno např. zde na příkladě na straně 2

gykas.cz/...

Je li limita zprava, je jakoby v exponentu toho čísla malé znamínko plus a je li limita zleva, tak je tam malé znamínko mínus

----------------------------------------------------

Zápočtová úloha 8

Vzorec pro cos 2x = cos²x - sin²x viz. např.

e-matematika.cz/...

Tedy po dosazení do rovnice místo cos 2x je rovnice takto

cos²x - sin²x + odm. 3 krát sin x - 1 = 0

je vzorec

sin²x + cos²x = 1

Tedy cos²x = 1 - sin²x

1 - sin²x - sin²x + odm. 3 krát sin x - 1 = 0

- 2 krát sin²x + odm. 3 krát sin x = 0

vytknout sin x

sin x krát (- 2 krát sin x + odm. 3 )= 0

buď sin x = 0

nebo (- 2 krát sin x + odm. 3 ) = 0

atd.

---------------------------------------------

Zápočtová úloha 8, příklad druhý:

tady je odkaz na vzorce pro logaritmy

nasprtej.cz/...

Upravit rovnici takto:

log₂ 182 - log₂ (5-x) = log₂(11-x) + log₂2

log₂ [182/(5-x)] = log₂ [2 krát (11-x)]

182/(5-x) = 2 krát (11-x)

Vznikne kvadratická rovnice.

Jsou li výsledky té rovnice, tak je potřeba udělat zkoušku.

Výraz za každým logaritmem musí být větší jak 0.