Goniometrická rovnice

Jsi si jistý, že máš dobře zadání?

Pokud ano, pak tyto kroky:

cos(2x) = 2cosx / cos(2x) = cos^2(x)-sin^2(x)

cos^2(x) - sin^2(x) = 2cosx /sin^2x = 1 - cos^2(x)

cos^2(x) - 1 + cos^2(x) = 2cosx

2cos^2(x) - 1 = 2cos x / substituce cos x = y

2y^2 - 1 = 2y

2y^2 - 2y - 1 = 0

y1,2 = (2 +- sqrt(4 - 4*2*(-1))/2*2

y1,2 = (2+-sqrt(12))/4

y1,2 = (1+-sqrt(3))/2

y1 = (1 + sqrt(3)) / 2

y2 = (1 - sqrt(3)) / 2

Kořen y1 je větší než 1. Pokud bys rovnici řešil v komplexním oboru (což pochybuji), tak dostaneš numericky

cos x = (1+sqrt(3))/2

x = 1,2359...i + 2kπ

No a v reálném oboru tento kořen nevede k žádnému řešení.

Kořen y2 je v intervalu (-1,1). Zde dostaneš reálné řešení, ale obávám se, že analytický tvar nebude existovat. Takže opět numericky.

cos x = (1-sqrt(3))/2

x = 1,9455... + 2kπ a x = 4,3377... + 2kπ.

Výsledek není dobře. Viz wolframalpha.com/...