Integrace goniometrických funkcí

Od: klaus* 09.04.16 18:44 odpovědí: 6 změna: 10.04.16 16:27

Zdravím potřeboval bych objasnit problém.

Je-li integrovaná funkce R(sinx, cosx) lichá vzhledme k sinx, tedy R(-sinx, cosx) = -R(sinx, cosx), použijeme substituci

t = cosx

Je-li integrovaná funkce R(sinx, cosx) lichá vzhledme k cosx, tedy R(sinx, -cosx) = -R(sinx, cosx), použijeme substituci t = sinx

Je-li integrovaná funkce R(sinx, cosx) sudá k sinx i cosx, tedy R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx), použijeme substituci t = tgx

Jak tedy poznám u příkladů lichost a sudost?

Odpovědět na otázku Skočit na nejnovější odpověď

6 odpovědí na otázku

Řazeno dle hodnocení

ctenar*

10.04.16 00:01

Tak, že dosadíš? (třeba sinx → -sinx) a úpravou zjištíš, jestli ti vyjde R, -R nebo úplně nějaká jiná funkce.

Nebo mi něco uniká?

Neučí se zjištování sudosti/lichosti funkcí už na střední škole? Měl jsem za to, že jsem tady na to už pár dotazů viděl.

[přidat komentář]

kartaginec®

10.04.16 00:18

čtenář má samozřejmš pravdu, možná ještě zřejmější ti byde z tohoto pohledu:

Ta funkce R(sinx, cosx) je složená funkce, kde do vnější funkce R(u,v) dosazuji u = sin x, v = cos x. Navíc o samotné funkci R se pčedpokládá (což jste nezdůraznil), že je to funkce racionální, tedy podíl dvou polynomů. Takže to, že vaše funkce je například lichá vzhledem k sinu, znamená, že R je lichá funkce u a to poznáte, krom obecného postupu navrženého čtenářem, i tak, že obsahuje pouze liché mocniny u.

klaus*

10.04.16 10:01

Takže (sinx)^5 * (cosx)^4 5 je lichá tudiz to bude první případ cosx=t? Chápu to takhle dobře?

A ještě takový dotaz, co se týká substituce tg (x/2) = t

Proč zrovna x/2? Proč ne jenom tgx=t?

kartaginec®

10.04.16 14:26

K prvnímu dotazu: mám dojem, že v zápise něco vypadlo. Pokud jde o plus a má být(sinx)^5 * (cosx)^4 + 5tak fa funkce není lichá v sinu, protoře u pětky je sinus na nultou; je ale sudá v kosinech, ale v sinech není ani sudá, takže správná substituce bude t = tg x/2. (Pokud ten zápis chápu špatně, tak mne, prosím, opravte.)A k tomu druhému dotazu: to uvidíte, když se budete snažit vyjádřit siny a kosiny pomocí té tangenty. S tg x si poradíte, když R bude sudý v sinech i kosinech, ale v obecném příppadě by se vám tam cpaly odmocniny. Proto potřebujete tu složitější substituci, které ty odmocniny zlikviduje. (Souvisí to s tím, že sin 2.½ x = 2(sin ½ x)*cos ½ x a cos 2*½ x= cos² ½ x¨– sin² ½ xa tím se ty odmocniny odstraní.)

klaus*

10.04.16 14:31

Díky, jinak v tom zápise jsem měl udělat větší mezeru má být jenom (sinx)^5 * (cosx)^4

Já myslel, že ta pětka u sinu je lichá..

kartaginec®

10.04.16 16:27

To je ten případ, že jsem váš zápis špatně četl. Ano, pětka u sinu (tedy exponent) je lichý, čili, pokud integrovaná funkce je

(sinx)^5 * (cosx)^4

a nic dalšího, máte pravdu. Já tam ovšem viděl ještě jednu pětku, na konci příkladu, takže jsem integrand četl jako

(sinx)^5 * (cosx)^4 + 5 ´(sinx)^5 * (cosx)^4 + 5*sin°x

v domnění, že vám vypadlo plus. Ono se mi to také v odpovědi nějak zdrclo, takže jste zase vy nepochopil mne.

Princip té substituce je jednoducý: pokud jste schopen vytknout sin x, což je derivace kosinu, a zbydou vám tam samé kosiny , případnš siny v sudé mocnině, tak sin² x vyjádříte z goniometrické jedničky pomoci čtverce kosinu a bez problému zasubstituujete.

doplněno 10.04.16 16:30:

Zase mi to srazilo odstavce, ale tentokrát jsem to napravil včas.

doplněno 11.04.16 10:00: Ale zase mi vypadlo rovnítko. Chtěel jsem napst (sinx)^5 * (cosx)^4 + 5 = (sinx)^5 * (cosx)^4 + 5*sin°x

Skočit na otázku
Vložit novou otázku

[přidat komentář]

Přidat svou odpověď

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.

Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.