Nejste přihlášen/a.
Stanovte rovnici přímky, která prochází průsečíkem P přímek a,b kde: a: x-y-3=0, b: 2x+3y-11=0, a zároveň
a) je rovnoběžná s přímkou p: x+2y-5=0
b) má směrnici k=2
c) prochází bodem M(-1;1)
d) je kolmá k přímce q: 5x-4y-20=0
Nevíte někdo jak se to počítá?
Nejaky jednoduchy trik na vypocet te kolmice? Ted po kratkem zamysleni me napada jen takove krkolomne reseni pres soustavu 2 rovnic, z nichz jedna je pro spolecny bod a druha pro obecny bod, kde pak vznikne pravouhly trojuhelnik.
Snad se mi do reseni nebude motat ten absolutni posun kolmice v rovine.
Z pravouhleho trojuhelniku za pomoci goniometrickych funkci a prevodu mezi nimi mi vyslo, ze smernice te kolmice je 1/k. Tohle si ze skoly nejak nepamatuji.
doplněno 22.08.15 23:49:Koukam, ze nize se objevilo spravne reseni, nez jsem sem napsal svoji uvahu. Taky me mohlo napadnout pouzit Google misto toho snazit se odvodit vlastni reseni.
doplněno 22.08.15 23:52:Vypoctem mi sice -(1/k) nevyslo, ale protoze kolmice smeruje dolu, tak by tam to minus byt melo.
doplněno 23.08.15 00:00:smeruje dolu
Obecne ta kolmice vzdycky smeruje presne opacne nez puvodni primka, takze smernice kolmice musi mit opacne znamenko nez smernice puvodni primky.
Neni nad to znovu vynalezt kolo
P ma souradnice [c,d] a lezi jak na primkach a, tak b, takze vyhovuje a je jednim z nekonecne mnoha dvojic reseni kazde z rovnic primek, proto ho tam dosadime:
c-d-3=0
2c+3d-11=0
Mame soustavu 2 rovnic o 2 neznamych:
c=d+3
2(d+3)+3d-11=0
d=1
c=4
Souradnice spolecneho bodu (pruseciku) P obou primek je bod [4;1].
a) primka rovnobezna s x+2y-5=0 ma rovnici x+2y+e=0. "e" je takove, aby primka prochazela P. Bod P je tedy jejim bodem, tzn. vyhovuje jeji rovnici a proto dosadime:
4+2.1+e=0
e= -8
Rovnice hledane primky je tedy x+2y-8=0
b) primka se smernici k=2 ma tvar: 2x-y+f=0 (nekdo dava prednost jinemu zapisu ve tvaru y=2x + f )
Bod P je opet soucasti te primky, takze tam dosadime a ziskame hodnotu "f".
2.4-1+f=0
f= -7
Primka ma rovnici 2x-y-7=0
c) obecna primka ma tvar kx-y+q=0 (opet nekdo dava prednost zapisu y=kx + q). Jestli prochazi body P a M, tak jejich souradnice vyhovuji rovnici primky, proto dosadime:
P: 4k-1+q=0
M: -k-1+q=0
To je soustava 2 rovnic o 2 neznamych. Vyresime:
q=1-4k
-k-1+(1-4k)=0
k=0
q=1
Primka ma rovnici -y+1=0 (neboli y=1. Nakresli si body M a P a uvidis, ze primka musi byt rovnobezna s osou "x" [proto vyslo to k=0] a musi byt ve vzdalenosti "1", aby prochazela obema body).
d) nejake reseni me napada, ale pripada mi moc slozite. Uvidime, co poradi jini.
U přímky q: 5x-4y-20=0 má vektor (5;–4) směr normály k přímce q- Kolmý vektor je takový, že skalární součim s vektorem (5;–4), například tedy (4;5).
Druhá cesta je převést rovnici na normálový tvar y = kx + p, kde k je směrnice přímky q. Směrnice kolmé př/... pak je
–1/k.
Jen doplnim: "Kolmý vektor je takový, že skalární součim s vektorem (5;–4), například tedy (4;5), je nulovy" .
Obecne: Vektory (r,s) a (u,v) jsou kolme, jestlize jejich skalarni soucin je nula.
Skalarni soucin: r.u + s.v = 0
Abych to dopocital:
d) vypocet pres skalarni soucin: kolmice ma rovnici 4x+5y+h=0
"h" se opet dopocita z toho, ze P[4;1] lezi na primce.
4.4 + 5.1 + h = 0
h= -21
Kolmice ma rovnici 4x + 5y - 21 = 0
d) vypocet pres smernici:
primka 5x-4y-20=0 jde zapsat ve smernicovem tvaru jako: y = (5/4)x - 5
Kolmice bude mit tvar: y = -(4/5)x + m
"m" se opet dopocita z toho, ze P[4;1] lezi na primce.
1 = -(4/5).4 + m
m= 21/5
Kolmice ma tvar y= -(4/5)x + 21/5 (coz je to same jako 4x + 5y - 21 = 0 z vypoctu pres skalarni soucin)
(Dukaz: rozšiř pěti: 5y = -4x + 21 a preved na jednu stranu: 4x + 5y - 21 = 0)
Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.
Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.