Co s logaritmem?

Anebo přímo zlogaritmovat. Prostč správné zadání je triviálně řešitelníá. Omlouvám se tazateli, ale vy jste tvrdil, že si neumíte poradit s tím špatným zadáním, domníval jsem se, že správné zadání vám potíže už dělat nebude.

Omlouvám se, že jsem se přepsal, navíc mi to editor jaksi srazil dohromady, Jinak byste jistě netvrdil, že nevíte, jak na to.

Pochopil jste z mé odpovědi aspoň to, že máte špatné zadíní? Nebo jste měl zadíní správně a jen jsrte ho špatně opsal?

1. Úloha, tak jak jste ji uvedl, zněla:

Řešte rovnici2^x +1 = 3^x

Abych vyloučil nedorozumění, zapíšu uvedenou rovnici ještě dvěma jinýmy způsoby.

Jednak s nadbytečnými, ale upřesňujícími závorkami:

(2^x) +1 = 3^x

a jednak pomocí horního indexu:

2^x+1 = 3^x.

K tomuto zadání jste napsal – a já s tím souhlasím – " Když to zlogaritmuji, nevychází mi z toho nic kloudného."

Později jste uvedl řešení z výsledků ze zdroje:

Zdroj: státní maturita z matematiky v testových úlohách vč.testových řešení. Miroslav hruška, totiž x = log2/log1,52.

Jedno řešení nalezl jirkazcx, totiž x = 1. Postupovel tak, že řešení uhádl a výpočtem ověřil. Toto řešení ovšem není to, které uvádí Hruška a kolektiv. Je možné, že existuje ještě jié řešení?

3. Jednoznačnost řešení x = 1 dokážeme úvahami o monotonii výrazu (3^x – 2^x). Jak? takto:

Pro x kladné je 3^x> 2^x, pro x = 0 je (3^x – 2^x) = 0, takže řešení rovnice (3^x – 2^x) = 1 může nastat pro jediné nezáporné x, totiž pro x = 1.

Pro x záporné naproti tomu je (3^x – 2^x) záporné a rovněž se nemůže rovnat jedné.

Závěr: Vámi uvedené rovnice má jediné řešení, totiž x = 1 ≠ log2/log1,5.Ke správnému řešení se vrátím v násleující odpovědi.

Správné řešení spočívá v odstranění nedorozumění.

4. Zadání, tak jak ho uvádí Hruška, zní

2^(x+1) = 3^x

nebo, pomocí horního indexu,

2^x+1 = 3^x,

Zlogaritmujete-li toto zadání, už není pravda, že nedostanete nic kloudného, naopak, tato cesta vede přímo k výsledku. Proto jsem napsal,

"v citovaném zdroji se jedná o příklad

2^(x+1) = 3^x,

který jistě snadno vyřešíte a vyjde vám to, co panu Hruškovi."

(tohle je již po opravě překlepu), ale možná díky překlepu, možná díky tomu, že se mi text "zdrcnul", jste si nevšiml, že jde o jiný příklad, než na který jste se ptal, protože tohle opravdu jistě umíte.

5. Jedno řešení napsal @x.

6. Druhé řešení, která odpovítá tomu, když rovnici zlogaritmujete, je

(x+1) log 2 = x log 3

x(log 2 – log 3) = log 2

x = log 2 /(log 2 – log 3) = log 2 / log ½ 3

7. Uvítám, když napíšete, zda je vám vše jasné.

Jak z toho pozoruji tak někteří neználci nezvládnou ani pořádný jednoznačný zápis. Já tam viděl absolutní člen

Stačily jen dvě závorky

Logickou úvahou jste zjistil, že x nemůže být 0 ani záporné ale pak jste to x stejně uhodl, co kdyby byla rovnice:

3^x - 2^x =1234

To už by nešlo tak snadno uhádnout, protože to pravděpodobně není ani celé číslo.

Dokonce jsem ho ani neuhodl já, to řešení vymyslel jirkazxc. (Navíc posloupnost je jiná: nejdřív jsme řešení uhádli a pak jsme dokázali jeho jednoznačnost, ale to je jen technický detail.) A proč mi to říkáte, já to přece vím. Nebo to byl dotaz?

Ona totiž je to transcendentní rovnice, kterou neumíme řešit v radikálech nebo tak nějak "rozumě", Na to jsou přibližné metody, které rovnici vyřeší s libovolnou přesností. (Zde by vyšlo x ≈ 6,54552.) Analyticky lze dokázat zase jenom jednoznačnost, podobně jako v naší rovnici. (Mimochodem to je důvod, proč se mi to zadání od počátku moc nezdálo jako příklad k maturitě, i když jsem to nijak nerozváděl.)

To rád slyším, protože jsem to s přesností taky nedokázal vyřešit. Metody na přiblížení by se samozřejmě najít daly.