Matematika - binomické rovnice

Nejlépe hledat řečení ve tvaru x = r(cos α + i sin α ) . čislo r bude absolutní hodnota z x a bude to r = 64^(1/6) = 2 a alfa najdu díky Moivreově poučce ze vztahu

(cos 6α + i sin 6α ) = –1 = (cos π + i sin π ).

Jde to samozřejmě i jinak. Například:

Nejprve substitucí x = 2y převedu rovnici na tvar

y⁶ +1 = 0

(to není nutné, ale bude se jednodušeji upravovat). Následně upravuji: y⁶ +1 = (y²)³ +1 = (y²+1)(y⁴–y²+1), Výraz (y⁴–y²+1) vede na kvadratickou rovnici pro y^2, která má ovšem komplexní kořeny, coý je jistá komplikace.

S tím si ale poradíme takto: místo substituce y² = z rovnici vydělíme y² a zavedeme substituci y + 1/y = z, odkud y² +1/y² = z² – 2 a po dosazení dostaneme opět kvadratickou rovnici pro z, ale tentokrát s reálnámi koženy.