Vektory, normy

Dobře, tak nejprve k té dvojce. Euklidovská norma ||u|| je skutečně součet čtverců souřadnic, následně odmocněný, čili pokud je u = (u₁, u₂, ,,,), tak ||u|| = (u₁² + u₂² + ...)^½, no a protože Euklidovská vzdálenost dvou bodů nebo i dvou vektorů je norma jejich rozdílu, dostáváme se k tomu vzorci, která jste použil. Ve druhém příkladu je použito jen jiné označení euklidovské normy: ||u||₂ je totéž jako ||u||, tekže ten poslední podpříklad umíte. A ty dalčí normy? Norma ||u||1 je tak zvaná součtová norma a je definována předpisem ||u||₁ = ( |u|₁ + |u|₂ +...), ktežto ta první norma je tzv. maximová norma a je definována tak, že vezmu absoludní hodnotu souřadnic a z nich vyberu maximální hodnotu; teď už to jistě snadno spočtete.

(Spíš pro zajímavost ta součtová a ta euklidovská norma jsou zvláštní případy p-normy pro p ≥ 1, definované předpisem

||u||_p = (|u₁|^p + |u₂|^p +...)^1/p,

a ta maximová norma se dá chápat jako limitní případ pro p jdoucí do nekonečna.)

K ostatnímu samostatně.

Třetí příklad" zne, přesněji vzato, směrový vektor dané přímky je takový že jeho druhá souřadnice je trojnásobkem první, ale to je z hlediska zadání nepodstatné. Tady jde o to, že pody dané přímky dostanu tak, že nechám t probíhat všechna reálná čísla, a otázka je, zda mazi těmito body je některý s těch vypsaných. Zkusme třeba bod [4, 3]. Porovnáním

4= 1 + t

dostanete t = 3, no a dosazení do 1+3t dostanete

1+3t = 10 , cež není 3 a tento bod na přímce neleží. Ostatní body ověřte sám.

Příklad 3: zde vám pomůže goniometrická jednotka. U prvních dvpuu příkladů je vzdálenost zkoumaného bodu od počátku rovna jedné, tak se pohybuje po kružnici a jde o to, jakou část z ní vyplní.

Čtyřka je malinko složitější, ale zkuste si to nakreslit a popřemýšlet.

Ještě přidám, že vlastně jde o použítí polárních souřednic, jestli vám to pomůže.

Abych vás ale zase nezmátl, to poyžití polárních souřadnic tam je, ale není to tak úplně přímočaré, berte to jako inspiraci-

Není to tak docela. Teď jdu venčit, pak to upřesníatím jen tolik, že první tři příklady zobrazují kruhová oblouk, (u trojky se středem v bodě [1;2]), ale máte špatně tu velikost

Tak podrobněji: označím-li úhel. který svírá radius vektor (průvodič) bodu [x;y] s osou x, písmenem α a vzdálenost tohoto bodu od počátku písmenem r, platí x = r cos α a y = r sin α.(To je princip polárních souřadnic.) Takže když v prvním příkladu z té čtyřky máte r = 1 α = 2t a t probíhá od nuly do ½π, tak α probíhá od nuly do π, což je půlkružnice. Bod 2 dává tedy kružnici, v trojce si posunete počádek a máte zase celou kružnici, s posunutým středem. (Sice je probýhána v opačném smyslu _ kvůli tomu mínusu _ ale na to se nikdo neptal.

V bodě 4 ten obrazec bode obíhat okolo počátku "do půlky" podobně jako by to byla půlkružnice, ale vzdálenost od počátku nebude konstentní. Zde plarí x2 + 4y2 = 4, což je rovnice elipsy.

A ten osmilístek máte dobře : tam musí být B = 2 (aby ten obrazec oběhl kolem dokola,) a A = 4.

(ještě to zkontroluji jednou, kdyy něco, pošlu opravu.)

Opravuji, ta rovnice je

x2 + 4y2 = 4,

(neboli ¼ x² + y² = 1 )

Jsem rád, pokud vám mé rady pomohly.

Pro zajímavost, ten osmilístek wolfram alfa vypočítal a nakreslil takto:

Ten odkaz nějak nefunguje. Zkusím to znovu, a kdyby nefungovalo ani to, zkuste si sám do programu zadat výpočet výrazu

x = (cos 4t)*( cos t), x = (cos 4t)*(sin t), 0 < t < 2 &pi)