Autobaterie KO?

Vozidlo: Seat Leon I 1.9 TDI, 110 kw
Zdravím,
včera mi blikla na autě červená kontrolka baterie. Dnes při cestě zpět domů taktéž svítilia, postupně se rosvítily i ostatní kontrolky (airbag, abs, varování). Postupně se mi zhasínal interiér - kontrolky zhasly, rádio se vypínalo apod. Při obou případech jsem nastartoval v pořádku, na první brnk.
Poté jsem zkontroloval fyzicky autobaterii, viděl jsem poměrně velkou oxidaci u záporné svorky. Takže jsem oxidaci odstranil, svorku lehce zbrousil hladkým šmirgl papírem. Na svorky jsem použil prostředek proti oxidaci, kterou mi doporučili v obchodě pro autodoplňky.
Následně jsem zkusil nastartovat a nic. Ani brnk. Zajímavý, že zamykání, světla apod. bylo funkční, ale nastartovat nešlo. Změřil jsem napěti multimetrem, ukázalo mi to hodnotu 12,10 V. Normální hodnota je okolo 12,6 V, jestli se nepletu.
Zkusím zítra autobaterii nabít, ale na první pohled se mi nezdá, že by byla úplně vybitá (nejsem samozřejmě odborník). Nějaké tipy, co by mohlo být špatně? Kdyby to byl vadný alternátor, tak by otáčky padaly a motor by zdechl, auto by alespoň nastartovalo, nebo se pletu?
Děkuji všem za rady.