Jak vypočítat lokální extrémy?

K tomu číslu 5 - to je prostě hodnota té minimizované funkce, polovina na druhou je čtvrtina a prostě to tam dosadíme.

V prvním případě je zřejmě chyba ve výsledku, to maximum má být zřejmě v bodě (1,0).

Jinak už nemám čas, ještě se na to podívejte a kvyž tak se ozvu večer, v nejhorším zítra.

Začne se samozřejmě derivováním, deriace zlomku umíte.

Derivace podle x je ještě jednodušší. Teď už jdu spat, zkuste sem ty derivace (a taky druhé derivace) napsat a já to ráno zkontroluji a případně napíšu správně

chtěl jsem říci derivace podle y. ta je rovna

-8xyx²+y²+1)²

což je rovno nule pro x = 0 nebo pro y = 0. Derivaci podle x tedy, jak říkáte, umíte, v čitateli má 4(y² - x² +1)

což pro x = 0 ení nikdy nula, pro y = 0 dostáváme x = ±1, takže dostáváte dva podezřelé body, totiž [1,0] a [-1,0]

Zkuste tedy spočítat druhé derivace a Hessovu matici, ale de fakto ji ani nepotřebujete, když jsou jen dva podezřelé body a v nekonečnu má funkce nulovou limitu; víte proč?

Zase jsem neuhlídal smajlíky, ten smajlík je otevírací závorka.

A teď ještě proč nepotřebuji Hesse: studovaná funkce nabývá kladných i záporných hodnot, kokrétně f (1,0) = 2, f(-1,0) = -2, a přitom v nekonečnu má limitu nulovou, takže vně nějakého dosti velkého kruhu je libovolně malá, bude mi stačit, aby byla v absolutní menší třeba než 1 No a existuje tzv. Weierstrassova věta o maximu, která říká, že na kompaktní množině (chcete-li, tedy například na uzavřeném kruhu) každá spojitá funkce nabývá svého maxima i minima. I vezmu ten výše zmíněný kruh takový, že vně je funkce mezi -1 1. Na tomto kruhu tedy nabývá svého maxima i minima, a to v některém z podezřelých (stacionárních) bodů. (Mohla by ho nabývat i na hranici, ale tam je příliš malá ve srovnání s těmi podezřelými body.) Tyto extrémy jsou samozřejmě zároveň globálnímy extrémy ("odříznuté" body nezasáhnou do hry), a protože podezřelé body jsou jen dva, v jednom je maximum, ve druhém minimum, a sedlové bodu neexistují, už prostě nemají kde být.

Tato úvha dokonce ukazuje, že v našich podezřelých bodech jsou nejen lokální, ale i globální extrémy.

S tím dosazením jsem se vyjádřil asi příliž zkratkovitě, tak podrobněji.

Při hledání lokálních extrémů začínáme tím, že položíme obě první derivace rovny nule (takovému bodu, pro který to platí, se říká stacionární bod). Pokud bych chtěl vypočítat tu derivace v nějakém bodě, tak by mne samozřejmě zajímal i jmenovatel, ale já potřebuji řešit rovnice

∂f/∂x = 0, ∂f/∂y = 0,

Pro tu druhou rovnici to znamená řešit rovnici 8xy = 0, protože jmenovatel je vždy kladný a tedy podmímka nedělení nulou je splněna, a zlomek je roven nule, právě když čitatel je roven nule.

V derivaci podle x zase stačí řešit rovnici, kdy čitatel je roven nule, tj. rovnici

4 ( y² -x² + 1 ) = 0

(Přiznám se, že to vaše krát mne nejdřív trochu zmátlo a myslel jsem, že je to taky iks, což by byla chyba).

Tu rovnici řešíte dohromadu s tou druhou, čili vycházíte z toho, že buď je x = 0 a pak máte rovnici 4 ( y² + 1 ) = 0, nebo je y = 0 a máte rovnici 4 ( -x² + 1 ) = 0. Ve druhém případě dostanete -x² + 1 = 0, tedy x² = 1 a odud to řešení.

V případě druhém ovšem se dostanete k rovnici 4 ( y² + 1 ) = 0, respektive y² + 1 = 0, která nemá reálné řešení.

K dalšímu postupu napíšu doplnění otázky, abych tuhle část moc nepřetěžoval.

Další postup je, obecně vzato, takovýto:

nalezením stacionárních bodů jsme nalezli podezřelé body, ve kterých jedině může být lokální extrém, případně sedlový bod. (Ale nemusí tam být nic z toho.) Co v takovémto bodě je, rozhodneme vyšetřením Hesseho matice. Jak se to dělá, najdete třeba v

aristoteles.cz/...

já to napíšu konkrétně pro náš případ. Začneme tím, že spočteme její determinant. Pokud je kladný (v podezřelém bodě!), je tam extrém a jaký, to vyšetříme dále (zatím nepíšu jak), pokud je záporný, je tam sedlový bod, pokud je nula, nevíme nic.

Ve vašem případě máte ovšem chybu ve výpočtu těch druhých derivací. Drhá derivace dvakrát podle x nebude mít ve jmenovateli

(x² + y² +1)², ale jenom (x² + y² +1); zato závorka (x² - y² +1) tam bude dvakrát. podobná chyba je zřejmě u derivace dvakrát podle y i u té smíšené. Tak to přepočítejte. Nyní, počítat Hessián s obecnými x a y je práce pro vraha, ale vám stačí počítat ho jen pro ten podezřelý bod, to znamená dosadit do druhé derivace x = 1 (nebo x = -1) a y = 0. Pak například ta derivace dvakrát podle x bude mít hodnotu -8 pro x = 1, a +8 pro x = -1;(nebo obráceně?zkontrolujte si to sama) podobně ty ostatní derivace. Takže budete počítat poměrně jednoduchý determinant z čísel. Bude-li kladný, bude v těch podezřelých bodech lokální extrém, a to v (1,0) maximum (derivace dvakrát podle x je záporná) v tom druhém bodě minimum. Tak to nejprve spočítejte, podle zadání mám podezření, že ten determinant bude nula, a pak bychom museli postupovat jinak. Zatím zkuste opravit ty derivace a spočítat determinant.

(Na to, proč ho nepotřebujete, zatím zapome%nte, bude-li vás to posléze ještě zajímat, vrátim se k tomu.)

Kdyby byl kladný, byl by v těch bodech extrém a jaký, bychom

Ten vzoreček asi myslíte dobře, jen tam nikde nevidím znamínko derivace, ale to může být tím, že se někde při ukládání ztratila čárka- Ovšem sama píšete, že ve jmenovateli je v na druhou, čili mocnina se zvýší o dvě. Ve skutečnosti se tam pak něco zkrátí, takže ve výsledném efektu se zvýší třeba skutečně jen o jeden, ale vy jste nic nezkrátla, v čitateli zůstala druhá derivace. Já to napíšu podrobněji, ale to mi bude chvilku tvat, než se k tomu dostanu.

Takže: vzoreček pro derivaci zlomku je

(u/v)‛ = (u‛*v - u*v‛) / v².

Teď to vložím, abych zkontroloval, zda se neztratí čírky značící derivaci, a pokud to bude O.K. budo pokračovat

Je to v pořádku, takže teď budu počítat derivaci podle x z derivace podle x. To znamená, že beru

u = 4( y² - x² + 1 ) , v = ( x² + y² + 1 )²

Derivuji (budu psát čárku jako derivaci podle x):

u‛ = 4* ( -2x)= _8x (to vám také vyšlo)

v‛ = [( x² + y² + 1 )²] ‛ = {derivuji vlastně složenou funkci} = 2*( x² + y² + 1 ) * ( x² + y² + 1 ) ‛ = 2* ( x² + y² + 1 ) * 2x = 4 x * ( x² + y² + 1 )

Když to dosadíte do vzorečku, ve jmenovateli budete mít ( x² + y² + 1 ) ve čtvrté(!) mocnině, ale v čitateli to bude také, v první části ve druhé mocnině, ve druhém členu v první. Navíc tam bude ten druhý člen násoben celkem šestnácti, po vytčení 8 tedy tam zbyde ještě dvojka.

Ve výsledném výrazu zkrátíme trojčlenem ( x² + y² + 1 ), takže ve jmenovateli skutečně bude ve třetí mocnině, což jste napsala správně, ale ze špatného důvodu, v prvním členu čitatele bude v první mocnině a ve druhém členu bude protí vašemu výsledku multiplikativní konstanta 2:

Č = -8x [ ( x² + y² + 1 ) + 2 ( y² - x² + 1 ) ]

J = ( x² + y² + 1 ) ³

Čitatel lze ještě upravit:

Č = _8x ( _ x² +3y² + 3 )

se jmenovatelem toho moc nenaděláme, a výsledek bude

8x [( _ x² +3y² + 3 )]/ [ ( x² + y² + 1 ) ³ ]

Další derivace jistě opravíte podle tohoto vzoru.

zapomněl jsem mínos:

_8x [( _ x² +3y² + 3 )]/ [ ( x² + y² + 1 ) ³ ]

Nejprve stručně k tomu krácení: to je standardní úprava algebraických výrazů. Ve jmenovateli je součet dvou (poměrně složitých, oravda) výrazů, v jednom znich se vyskytuje trojčlen ( x² + y² + 1 ) ve druhé mocnině, ve druhém je v mocnině první. Vytkneme tedy to společnou první mocninu a zkrátíme ji proti čtvrté mocnině ve jmenovatali. Podle pravidla, že podíl mocnin základu je základ na rozdíl mocnin) (jedno ze základních pravidel počítání s mocninami) nám zbyde ( x² + y² + 1 ) celkem na mínus třetí, neboli totéž na třetí, ale ve jmenovateli.

Správností těch dalších derivací si od pohledu nejsem zcela jist, a podívám se na to ještě.

ty derivace opravdu nejsou dobře.

podívejte se na tohle a zkontrolujte si to, taky jsem to mohl poplést.

ale máte. Uvědomte si, že první derivace podle y je symetrický vzhledem k x a y,

Což by znamenalo, že celou rovnici násobím 8y takže při počítání hesseho matice mi výjde 0. Takže Hesseho matice mi vychází jinak než podle řešení a nevím kde je chyba..

Proč proboha chcete celou rovnici (mimochodem, kterou?) násobit ypsilonem? Smíšenou derivaci dostanete jednoduše tak, že v derivaci dvakrát podle y zaměníte všude x a y. Pak vám Hessián (tedy determinant Hesseho matice, ne Hessova matice jako taková, ta není rovna číslu!) vyjde roven 4, tedy kladný, a stavionární body jsou body , v nichž jsou lokální extrémy. /Sedlových bodů není.)