Nejste přihlášen/a.
Sestrojte rovnoramenný lichoběžník ABCD, AB rovnoběžné s CD, máme-li zadáno CD, úhlopříčku AC a úhel ACB = 90 stupňů. Jak se dá nejjednodušeji tento lichoběžník sestrojit?
zkus: úsečku CD, v bodě C pravý úhel a z bodu D protni polopřímku CB kružnicí o poloměru AC. V bodě B, který tím získáš, veď rovnoběžku s CD. Stejným poloměrem protni tuto rovnoběžku, když zapíchneš kružítko do bodu C, v průsečíku je bod A.
Omlouvám se za možná kostrbatou terminologii, přece jenom jsem ze školy moc let.
doplněno 15.03.09 21:46:No tak teď vidím, že jsem byla kapánek vedle, omlouvám se.
No tu konstrukci jsem nějak pochopil, ale takto nevím jak vznikne rovnoramennost toho lichoběžníku. Jedna věc ze zadání je jasná a to ta, že z podmínky pr. úhlu mezi ůhlopříčkou AC a základnou CD plyne. že lichoběžníku lze opsat Thaletovu půlkružnici se středem ve stredu základny AB. Co dál?
A kde jste přišel na to, že AC svírá pravý úhel s CD? V zadání je naopak, že AC svírá pravý úhel s BC což vylučuje pravý úhel ACD i výše naznačenou konstrukci.
Jo, ale to už je dávno a čestně jsem to avizovala , ze zadání jsem udělala co šlo.
doplněno 15.03.09 13:49:Tak nevím, kde se v zadání bere ten pravý úhel...
Tak já to napíšu ještě jednou. Škoda, že tady nejdou obrázky... Takže máme sestrojit rovnoramenný lichoběžník ABCD se základnami AB a CD. Ty jsou rovnoběžné. Ramena jsou tím pádem BC a DA a jsou stejně dlouhé, protože jde o rovnoramenný lichoběžník. Dáno je tohle : horní základna CD, úhlopříčka AC a úhel mezi touto úhlopříčkou a ramenem BC je 90 stupňů. To je vše. Z podmínky pravého úhlu ze zadání je jasné, že tomuto lichoběžníku lze opsat Thaletovu kružnici se středem ve středu základny AB. Taky je jasné, že osy všech jeho stran a taky obou úhlopříček se protínají zase ve středu základny AB, protože pokud mu jde opsat Půlkružnice tak jeho strany jsou vlastně všechno tětivy oné Thaletovykružnce. No a otázka zní jak se sestrojí. Zadání je korektní, lichoběžník musí jít sestrojit.
Ano, je jasné, že obě ramena jsou stejně dlouhá, obě úhlopříčky jsou stejně dlouhé, dál je jasné, že lichoběžník je osově souměrný podle osy (je společná) základen AB a CD, úhly jsou tím pádem shodné podle této souměrnosti, prostě je to takový uřízlý rovnoramenný trojúhelník.
Bude v tom nějaká jednoduchá finta. Za ta léta jsem skoro všechno zapomněl. V praxi se takové věci nepoužívají.
Kružnice opsat jde, ale nemyslím si, že by musela mít střed ve středu AB. To z ničeho nevyplývá.
Samozřejmě, že vyplývá. Je-li úhel ACB pravý, pak je trojúhelník ABC pravoúhlý s pr. úhlem u vrcholu C a s přeponou AB (základnou lichoběžníka). Takže půlkružnice sestrojená nad základnou AB musí procházet bodem C. To je přece Thaletova kružnice. Ta říká, že libovolný bob na ní spojený s krajními body jejího průměru, tvoří vždy pravoúhlý trojúhelník. A protože jde navíc o rovnoramenný lichoběžník, tak na této půlkružnici musí ležet i bod D.
pokud nehraje roli délka stran, tak bych sestrojil pravoúhlý trojúhelník (vrchol C pravý úhel) pak z délky BC sestrojit kružnici se středem A a zdélky AB kružnici se středem C a prúsečík ti dá bod D
je to jen můj názor
Délka ramene BC není zadána. Je zadána délka CD (horní základna), AC (úhlopříčka) a pravý úhel ACB čili mezi úhlopříčkou a ramenem BC.
Píši to už asi počtvrté. Doporučuji tento náčrtek : Nakreslete si tužkou nějký libovolný ROVNORAMENNÝ trojúhelník. Pak někde veďte rovnoběžku s jeho základnou, aby ho přetnula. Ten horní trojúhelník vygumujte. Dostanete rovnoramenný lichoběžník. Vrcholy se popíší zleva doprava odspodu postupně A, B, C, D. Takže máte dvě základny AB a CD. Ty jsou rovnoběžné. Pak máte dvě ramena BC a DA, ty jsou STEJNÉ. Teď spojíte bod A s bodem C. Dostanete úhlopříčku.
Tím máte obecný obrázek rovnoramenného lichoběžníka pro tuto úlohu. No a teď si zvýrazníte co je zadáno. Třeba silnou tužkou. Je to 1. horní základna CD, 2. úhlopříčka AC a 3. úhel mezi touto úhlopříčkou AC a ramenem BC, který je pravý.
Tak uz to myslim mam. Cely vtip je v tom, ze ten lichobeznik je polovina pravidelneho sestiuhelnika, o strane CD. Takze zacnu uhloprickou AC, udelam pravy uhel v bode C, z bodu C opisu kruznici s polomerem CD. Tam kde protne tu kolmici ziskam bod B. Dale uz je vice moznosti. Treba spojit bod B s bodem A, ziskame AB, bodem C vedeme rovnobezku s AB a na ni naneseme z bodu C delku strany CD.
Rovnoramenný lichoběžník nemusí být půlka šestiúhelniku. Ramena AD=BC, ale nemusí se rovnat DC.
Obecně nemusí, ovšem pokud přidáme podmínku, že uhlopříčky svírají s vedlejšími rameny pravý úhel, pak se poloměr kružnice opsané takovému lichoběžníku posouvá do středu jeho spodní základny a je z něj "polovina" pravidelného šestiúhelníka.
No to nemusí být obecně pravda. Stačí si namalovat nějakou úsečku, třeba 10 cm a nad ní opsat půlkružnici. Pak vedu rovnoběžku ve vzdálenosti např. 1 cm nad ní a kde mi protne kružnici dostanu dva body. Ty spojím s krajními body úsečky a mám rovnoramenný lichoběžník. Úhlopříčky svírají s rameny pr. úhel, to je logické a vůbec nejde o půlku pravidelného šestiúhelníka. Když rovnoběžku povedu ve vzdálenosti např. 4 cm, dostanu jiný rovnoramenný lichoběžník, pr. úhly musí být opět - jde o Thaletovu kružnici a zase nemám půlku pravidelného šestiúhelníka. Oba tyto lichoběžníky mají různé délky horních základen a úhlopříček. Takže pro zadanou horní základnu a úhlopříčku je takový lichoběžník jen jeden jedniný a jeho základna AB právě musí vyplynout z hledané konstrukce.
Jak se dá nejjednodušeji tento lichoběžník sestrojit?
Nejjednodusseji je to grafickou iteraci.
Po sestrojeni usecky CD nakreslim z bodu C kruznici a o polomeru AC. Pak sestrojim kruznici t (Thaletovu) se stredem S na ose budouciho lichobezniku a prochazejici bodem C. Posouvam stred kruznice S po ose (meni se polomer kruznice) tak dlouho, az mi spojnice stredu kruznice S a pruseciku kruznic t a a vytvori rovnobezku s useckou CD. Tento prusecik je pak bod A.
To je jednoduchy, ale ne exaktni reseni.
Druhou moznosti je vypocet vysky lichobezniku. Respektive vysky trojuhelniku ACB.
Ten se vypocte ze soustavy tri rovnic a trech neznamych. Vychazi se opet z Thaletovy kruznice. Trojuhelnik s pravym uhlem v bode C. Prepona trojuhelniku je znama delka CD+neznamy prirustek x do delky AB (AB je prumer Thaletovy kruznice). Druhou neznamou je hledana vyska V (ta deli trojuhelnik na dalsi dva). Treti neznamou je rameno BC, ktere tvori zaroven jednu odvesnu trojuhelniku. Druhou odvesnou je znama delka AC.
Mame tedy nezname x, V, BC a zname CD, AC.
Pomoci trech Phytagorovych vet pro tri trojuhelniky lze vypocist vysku v. Pak uz je to jednoduche.
To je exaktni, ale ne plne graficke reseni.
Nad exaktnim grafickym resenim se jeste chvilku, kdyz bude cas, zamyslim
Výpočet jak je uvedený nelze vypočíst.. Mám Thaletovu kružnici o poloměru, který nevím, vím jen jeden údaj a to je délka AC. Takže trojúhelník nemůžu řešit nebot jak je známo, je zapotřebí 3 údajů. A mám jen dva. Délku AC a úhel (ten pravý). Půlením trojúhelníku nic nového nezjistím, jelikož jsou si podobné. Bez zakomponování základnxy CD se počítat nic nedá.
Dotaz, to máte zadání ve škole? Už se to podařilo někomu vyřešit? Jestli dojdeš k řešení, tak to sem dej. Zajímá mě to, i když je mi to na ...
Odpověď pro miljan : To není zadání ze školy, ale z nějaké olympiády nebo tak nějak. Na tu konstrukci jsem přišel sám, ale myslím, že je dost složitá. Určitě bude existovat nějaký lehčí postup. Je pravdou, že jsem našel dost podobných úloh, dokonce i s podmínkou pr. úhlu, ale vždy byla zadána spodní základna. To má takřka triviální postup konstrukce, protože jde ihned sestrojit Thaletova kružnice. Jen si řešitel musí tento fakt uvědomit. Tady je to obtížnější, protože sice Th. kružnice opsat taky jde, ale nemůžeme z ní vycházet. Tak se musí hledat jiná cesta pomocí jak se dnes učí : vlastnosti množiny bodů...
Samozrejme, ze vypocist lze.
Ze to neumis Ty jeste neznamena, ze to nelze
Mas tri udaje. Delku AC, delku CD a uhel 90 stupnu. Nakresli si to a premyslej.
Nu jsem na to zatím krátký. Napadlo mne jediné řešení, ale to zahrnuje konstrukci kuželosečky jinak už plácám páté přes deváte, jak možno z diskuze vidět. A dost mne to trápí a vrtá hlavou )
Tak tady je konstrukční řešení, exaktní bez metod přibližování a pod.
Sestrojte pravý úhel. Na každé rameno naneste dvakrát délku zadané úhlopříčky AC. Koncové body spojte. Bude to vlastně přepona pravoúhlého trojúhelníka Body označte např. X,Y. V jednom z koncových bodů např. X sestrojte kolmici k této přeponě a naneste na ni z tohoto bodu zadanou délku základny CD. Dostanete bod S, ve kterém zrovna sestrojte kružnici o poloměru CD. Nyní spojte bod S s bodem Y. Tato úsečka protne sestrojenou kružnici v bodě Z. No a teď rozpulte vzniklou úsečku ZY, dostanete bod např. Q. No a délka QZ = QY = základna AB lichoběžníka.
Dál je to jasné. např. nad QY sestrojím půlkružnici, z bodu Q opíšu oblouk o poloměru úhlopříčky AC a kde je průsečík, je bod B lichoběžníka. Odtud opíšu oblouk o délce CD a dostanu bod D lichoběžníka. A platí, že CD je rovnoběžné s AB. Tot vše.
doplněno 18.03.09 14:44:Jestli někdo přemýšlí, jakto že skutečně platí, že AB je rovnoběžné s CD, tak je tomu skutečně tak. Pokud by to někoho enormě zajímalo at dá vědět, nebudu mu psát ...zkus přemýšlet...
Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.
Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.