Vztahy mezi kořeny a koefic. kvadratické r

- x1 + x2 = 8
x1 . x2 = -9

A jak dál? - vždyt to je přece jasná soustava dvou rovnic o dvou neznámých, ne?

Ty kořeny jdou samozřejmě zjistit různě.

Jednak můžete použít vzoreček, který si buď pamatujete, nebo ho odvodíte tzv. doplněním na čtverec, aniž byste ty vztahy, které uvádíte (říkáme jim Vietovy vzorce.,, využil. V našem konkrétním příkladu by doplnění na čtverec vypadalo takto:

x ² - 8x - 9 = 0 Vím že 8 = 2.4,m a tedy

x ² - 8x + 4² = (x - 4)² ,

původní rovnici " doplníme na čtverec (druhou mocninu):

x ² - 8x - 9 = x ² - 8x + 16 - 16- 9 = (x - 4)² -25 = 0

(x - 4)² = 25

a s tím už si poradíme.

Vietovy vzorce pak můžeme využít různe. Naše rovnice má celočíselné koeficienty, tak můžeme zkusit, jestli nemá taky celočíselné kořeny. To zdaleka nemusí být pravda, ale pokud tomu tak jest, V. vzorce nám umožní je prakticky uhodnout. Ty kořeny by totičž museliy podle toho druhého vztahu, být dělitely devítky, v našem případě jejich absolutní hodnota musí být buď 1 a 9, nebo 3 a 3, a protože jejich součin musí být mínus devět, musejí mít opačné znaménko. To nedává mnoho možností, a mezi nimi si snadno vybereme tu (redy pokud taková existuje), kdy součet dá, podle prvního vzorce, 8. To v našem případě jde a to tak, že x1 = 9 a x2 = -1.

Poklud ovšem tato možnost nefunguje, tedy pokud rovnice nemá celočíselné kořeny, tento postup k cíli nevede, ale i tak můžeme V. vztahy využít pomocí triku, který popíšu v dodatku.

Ten trik nerozvedu, ale popíšu, dám návod: vezmu rovnice kolegy Mowly (tedy v té podobě

x1 + x2 = 8

x1 . x2 = -9

(když z první rovnice vypočtu třeba x1 a dosadím do druhé, dostanu se zpět na původní kvadratickou rovnici a mohu ji řešit jak psáno víše, ale mám i jiný nápad:

Prví rovnici umocním na druhou, adečtu od ní čtyřnásobek druhé, upravím pomocí binomické poučky a odmocním. Výsledkam jsou zase dvě rovnice pro dvě neznámé, ale už lineární. (To je náčrt a je malinko neúplný, promyslete si to do podrobností.)