Co to je vektorový prostor

Od: finchcz* 15.10.08 18:15 odpovědí: 3 změna: 16.10.08 16:10

Dobrý den,
chtěl bych se zeptat, jestli mi může někdo vysvětlit co to je vektorový prostor, jak spočítám souřadnice vektorů v bázi, jak najdu bázi vektorového prostoru, jakým způsobem určím bázi a dimenzi podprostoru, když znám dvě homogenní rovnice o třech neznámích v R.
Děkuju všem za odpověď

Odpovědět na otázku

3 odpovědi na otázku

Řazeno dle hodnocení

axus®

15.10.08 19:08

Vektorovy prostor je n rozmerny linearni prostor, jehoz jednotlive prvky tvori vektory.

Vektor je velicina, ktera ma velikost a smer. Pokud mame urcitou mnozinu techto vektoru, muzeme s nimi provadet urcite operace, jako vektorovy soucet a soucin, skalarni soucin, ...

Toto vse dohromady tvori prave vektorovy prostor. Bezne se zapisuje jako matice velikosti m,n, kde m jsou obvykle radky a radky jsou prave jednotlive vektory, n jsou sloupce, cili jednotlive hodnoty ve vektorech.

Vektorovy prostor si lze predstavit napriklad jako 3D prostor. Aby ste urcili polohu bodu, musite znat tri souradnice. a,b,c.

Druhy bod je d, e, f.

Primka spojujici tyto dva body spolecne s velikosti V, chceteli intenzitou se nazyva vektor. Pod intenzitou si muzete predstavit treba rychlost, pusobici silu, prilnavost, stoupavost, ..., jakoukoli velicinu, ktere jde priradit i smer.

A protoze sme ve 3D prostoru vznikne matice popisujici vektor.

a, d, Vx

b, e, Vy

c, f, Vz

kde jednotlive radky popisuji osy x, y, z souradnicoveho systemu.

Samozrejme vektorove prostory muzou byt i nizsiho, ale i vyssiho radu. Vyssi si pak uz samozrejme jinak nez matematicky predstavit nedokazeme.

Baze vek. prostoru je mnozina linearne nezavislych (LN) vektoru. To znamena, ze v nejakem vek. prostoru muzou byt nektere vektory na sobe linearne zavisle (LZ) a baze je podprostorem tohoto prostoru a obsahuje pouze LN vektory. Z toho vypliva i zpusob vypoctu baze. Staci urcit vsechny LN vektory. To se provadi hledanim vzajemnych multiplikatoru mezi jednotlivymi vektory. Viz napr. Gaussova eliminace.

V podstate se mezi sebou nasobi jednotlive prvky jednotlivych vektoru a hleda se, zda existuje vzajemny multiplikator (soucinitel).

Dimenze je jeste jednodussi. Je to pocet LN vektoru tvorici bazi.

Tedy. Mame napriklad v. prostor s 5ti vektory, z nihz 2 jsou LZ. To znamena, ze bazi tvori tri LN vektory a jeden libovolne vybrany LZ vektor. Tvori ji tedy ctyri vektory a dimenze je tedy 4.

Souradnice se spocitaji tak, ze ke kazdemu cislu jednotlivych vektoru ve vektorovem prostoru pripises postupne od leva do prava x, y, z, ... A to ke kazdemu radku - cili ke kazdemu vektoru.

Napr. matice 2x2:

1,2

3,4

dosadis x, y:

1x+2y=0

3x+4y=0

Vznikne Ti tak soustava rovnic, ktere nasledne vyresis.

Presne opacnym zpusobem se postupuje u tech homogennich rovnic.

Neboli cisla z rovnic zapises jako vektory a napr. opet Gaussovou eliminaci vyresis.

Uf. Stejnak to z toho meho popisu asi nepochopis. Takhle po netu je to naprd. To by chtelo poradne polopaticky

Predpokladam, ze studujes vejsku nebo gympl? Neboj se toho, pocitani s vektory nic neni. Cekaji Te mnohem horsi veci.

doplněno 15.10.08 19:13:

U tech homogenich rovnic bych jeste doplnil, ze kdyz mas jenom dve a tri nezname, tak si samozrejme musis z jedne nezname udelat parametr. To znamena pocitat to v zavislosti na ni. Mas to o to jednodussi, ze sloupec pravych stran tvori same nuly, jelikoz jde o homogenni rovnici.

[přidat komentář]

axus®

15.10.08 20:00

Ted mi napadl krasny priklad, jak to vse vysvetlit.
Predstavte si vozovku. Nekonecne dlouhou, takze sirku lze zanedbat. Jedna se tedy o jednorozmerny prostor.
Po vozovce jede auto z bodu A do bodu B rychlosti V1.
Je tedy urceno vektorem (A, B, V1).
Auto v protismeru jede rychlosti V2 a ma tedy vektor (B, A, V2).
Vektorovy prostor v tomto pripade je tedy napriklad(A, B, V1), nebo (V2, A, B) nebo jeste jinak prohozene prvky. To je jedno.
Posunme se vyse. Do dvourozmerneho prostoru.
Jsme nyni na poli. Pole ma zcela jiste dva rozmery. Sirku a delku. Jedno auto jede jednim smerem a je opet urceno vektorem (A, B, V1). Druhe auto jede sikmo k nemu pod nejakym uhlem a je urceno vektorem (C, D, V2).
Dostavame tedy matici (vektorovy prostor)
A, B, V1
C, D, V2
A ted prijelo treti auto, ktere jede rovnobezne s prvnim rychlosti V3 z bodu E do bodu F.
Ale co je dulezite, jede prave rovnobezne s prvnim.
Dostavame tedy
A, B, V1
C, D, V2
E, F, V3
Ale: Rychlosti jsou na sobe urcitim pomerem zcela jiste zavisle. Jinak to ani neni mozne. Jedna rychlost je zkratka NEKOLIKANASOBEK jine rychlosti.
A protoze prvni a druhe auto jedou rovnobezne, da se ze stanoviste nejakeho pozorovatele rict, ze treti auto jede v NEKOLIKANASOBNE vzdalenosti, nez auto prvni.
Tyto dve auta jsou tedy na sobe linearne zavisla. A jedno z nich muzeme vyskrtnout.
Ja sem se treba rozhodl vyskrtnout prvni a BAZI toho meho letiste tvori dve aut, cili dimenze je 2 a ta moje baze je
C, D, V2
E, F, V3.
Ve 3D prostoru si pak staci predstavit treba vzletavajici letadlo, ktere zcela jiste nebude LZ se zadnym z aut a stejne tak letadlo letici rovnobezne se zemi a zaroven rovnobezne s nejakym autem muze byt s tim nejakym konkretnim autem linearne zavisle.

finchcz*

16.10.08 16:10

děkuju moc za odpověď, pomohlo mi to.

ano jsem student vsb, chodim do skoly dalkove, na prednasku z lineární algebry jsem přišel o hodinu později a pak jsem nic nechapal, takže diky

[přidat komentář]

Přidat svou odpověď

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.

Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.