Nejste přihlášen/a.
Válec ze zlata zahřejeme z teploty 10C na 90C. Určete v procentech a) změnu objemu b) změnu obsahu povrchu c) změnu hustoty d) změnu výšky. Važujte lineární závislost mezi délkou a teplorou. Teplotní souč. délkové roztažnosti zlata je 14,3 * 10 na -6 K na -1
Můj názor: při zahřátí dojde k prodloužení všech rozměrů. Budete potřebovat tyto znalosti: a/ vzoreček pro objem válce, b/ vzoreček pro povrch válce c/ vzoreček pro výpočet hustoty d/ vzoreček pro změnu délky v závislosti na teplotě . Protože nejsou zadány rozměry válce, zvolte si rozměr před zahřátím např. výška=1, poloměr=1. Anebo počítejte obecně a hrejte si s úpravou rovnic. Potom počítejte bod a/b/c/d po zahřátí. Nakonec vypočítáte procenta. Prozradíte od kud máte tento příklad? SŠ nebo VŠ matematika?
V zásadě je to tal, jak píše qert; vlastně je to ještě tednodušší. V otázce je určit ty změny v procentech, což se odvíjí od poměrů jednotlivých rozměrů a ty tudíž nepotřebujeme ani znát. Především formulace je schválně trochu matoucí, začít musíme s výškou. Tam se uplatní fyzika (dál už je to víc maematika). Ten (lineární) vzorec délkové roztažnosti říká, že relativní přírůstek délky je přímo úměrný přírůstku teploty (ve stupních Celsia nebo Kelvina, u přírůstku je to jedno), a to už je téměř to, co potřebujeme. Zatím to máme v podopě poměrů. na procenta to pevedeme násobením stem (tak dostaneme, o kolik procent se výška zvětší; kolik procent původní výšky to bude?).
Ke zkoumání těch plošných a objemových změn vlastně nepotřebujeme znát vzorce, stačí vědět, že objem se zvětšuje úměrně třetí mocnině výšky, onsahy (obsah základny, obsah oláště, obsah povrchu... cokoli) pak úměrně druhé mocnině. Jen pozor, abychom se nezaplatli s přírůstky a procenty, procenta bych z toho udělal až nakonec.)
No a na závěr se dostane ke slovu opět fyzika se vzoreškem pro hustotu.
Já jsem si na začátku myslel, že uvedený příklad je blbost z hlediska vyčíslení změny v procentech a chybějící zadání počátečních rozměrů válce. Opravte mě, jestli se pletu, ale podle mě výsledek např. změna objemu bude záviset na počátečních rozměrech válce. Protože při výpočtu např. objemu, poloměr R vystupuje ve vzorečku na druhou, zatímco délka L je bez mocniny. Nebude tedy přírůstek objemu v procentech záviset i na původních rozměrech válce R a L?
Jestliže se rozměry zvětší o x %, budou pak rozměry (1 + x/100)krát větší, povrch pak bude (1 + x/100)2krát větší, to je o
[(1 + x/100)2 – 1] ⋅ 100 % více a objem (1 + x/100)3 krát větší, to je o [ (1 + x/100)3 – 1] ⋅ 100 % více. Tak je patrné, že zvětšení udané v procentech nezávisí na původních rozměrech. Takže platí to, co výše uvedl qwerzuiop, ovšem pouze za podmínky, kterou uvedl @kartaginec
Jo a ne; změna objemu bude závistet na počátečních rozměrech, ale totéž bylo u změny délky, nás však zajímá procentní (relativní) změna objemu. To bude nadále na počátečních rozměrech nezávislá, co se změní, je typ závislosti na změně teploty. Ukážu to například na krychli, to bude jednodušší na výpočet, ale princip je stejný.
Jestliže strana krychle je a, pak její objem je V = a³. Nyní, (relativní) přírůstek délky ða/a závisí na přírůstku teplotu lineárně (tj ða/a= k*ðT) tahle lineárnost v dané úvaze nebude až tak důležitá, spíš půjde o to, že bude malý (ða/a << 1; ten znak ð užívám proto, že nic lepšího jsem v editoru nenašel, obvyklé je velké řecké Delta). Pak po zahřátí vznikne objem V1 = (a + ða)³ = a³ + 3a²*ða + 3a *(ða)² + (ða)³, (který na původních rozměrech závisí) a pro relativní přírůstek objemu ðV/V = (V1-V)/V dostaneme vztah ðV/V = 3ða/a + 3(ða/a)² + (ða/a)³ , již na původních rozměrech nezávislý, tedy pokud je to pravda pro relativní přírůstek délky. Závisí ovšem na relativním přírůstku délku nelineárně, a tedy i ("přesná") rovnice objemové tepelné roztažnosti je nelineární. Pokud však přijmeme předpoklad, že relativní přírůstek délky je malý (čili předpoklad, že koeficient délkově roztažnosti je malý), lze nelineární členy zanedbat a dostáváme i zde lineární zákon.
Jo a juknul jsem před odesláním na otázku a tohle již mezitím napsal petapeta stručněji a asi jasněji; nicméně stejně to tu nechám, jako doplněk, protože cenou za jasnost je u petapety zestručnění výpočtu.
Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.
Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.