Nejste přihlášen/a.
Jak vypočítám rovnici o dovuch neznámých?
x+y+xy=5 a 2x+2y+xy=8
Máš 2 rovnice o dvou neznámých. 1 rovnice o 2 neznámých by byla nejednoznačná.
Metod je více. Třeba si z jedné rovnice vyjádři jednu proměnnou (x = něco, to něco už nesmí obsahovat x) a tu dosaď do druhé rovnice (do všech výskytů té neznámé). Druhou rovnici pak snadno vyřešíš, protože už bude mít jen jednu (tu druhou) neznámou. No a až tuto druhou neznámou budeš znát, tak ji dosadíš do původní první rovnice a dořešíš i tu.
já rovnice dávno zapomněl, ale asi bych to počítal po svém...
rozdíl mezi (x+y+xy=5) a (2x+2y+xy=8) je 3... (v druhé rovnici je o jedno x a jedno y více) teda x+y = 3
protože x a y musí být odlišné, jedna neznámá bude mít hodnotu 1 a druhá hodnotu 2
zkusím x=1 a y=2 potom
1+2+(1*2) = 5
2+4+(1*2) = 8
a to by odpovídalo...
Jasně, ideální řešení. Každopádně nemusela by to být celá čísla jen tak náhodou, ale každopádně po zjištění, že x+y = 3 je zároveň z první rovnice jasné, že x krát y = 2. Pak je jasný, že to musí být celá čísla a samozřejmě, že součin rovný dvěma a součet rovný třem jde už jen pro čísla 1 a 2. Ovšem člověk si může vybrat, co bude co, takže já bych viděl dvě řešení, a sice x1=1,y1=2 a x2=2,y2=1. To se tuším pak nějak zapisuje jako uspořádané dvojice, ale fakt už mi trochu pamět vázne.
Tak tohle jsou kvadratické rovnice. Mimochodem, jedna rovnice o dvou neznámých nemusí být nutně nejednoznačná, například rovnice x² + y² = 0 má v oboru reálných čísel jediné řešení x=y=0; ovšem v oboru čísel komplexních má samozřejmě nekonečně mnoho řešení.
Jinak metoda hm je O.K. Něco má do sebe i to, co píše hejkal; částečnou metodou pokusů a omylů nalezl jedno řešení, a vlastně dvě, protože rovnice jsou vzhledem k x a y symetrické a tak druhé řešení dostanu záměnou x za y. Neříká ovšem nic o tom, zda jsou to všechna řešení (a priori by mohla být až čtyři), a vlastně nevím, odkud je předem jasné, že x a y jsou různá (no v zásadě to je jasné, otázka jak komu a proč). Nicméně bych použil jeho postup, kdy od druhé rovnice odečetl první a vyšlo mu
x+y = 3
pak bych ještě od dvojnásobku první odečetl druhou a dostal bych
xy = 2
a to už vyřeším snadno: první z těch nových rovnic umocním na druhou, dostanu
x² + 2xy + y² = 9
odečtu čtyřnásobek druhé (tj. 4xy = 8):
x² _ 2xy + y² = 1
odsud x - y = ±1 (binomická poučka, a tak dostanu dvě lineární rovnice, které snadno vyřeším. Vyjde mi to, co Hejaklovi, akorád že už vím že jsem našel řešení všechna.
doplněno 01.06.11 19:09:Mezitím to napsal Naihonn, i když si myslím, že ten závěr, že x a y musí být celá, by přeci jen zasloužl podrobnější vysvětlení. Jako u Hejkala: v zásodě to jasné je, ale možná že ne každému. No a prosté řešení dvou lineárních rovnic žádné jasné předpoklady nepotřebuje.
Ano, říkal jsem si, že ta moje věta o nejednoznačnosti by si asi zasloužila hlubšího zamyšlení a že ji možná někdo napadne. Ale pak jsem si řekl, že snad aspoň ve většině případů platí.
No a pan profesor nezklamal.
No ona ta moje poznámka bylo taové hledání chlupu na dlani; vlastně je to jediný případ, kdy taková rovnice má jednoznačné řešení, a to ještě jen v reálném oboru, a netýká se to rovnic uvažovaného typu (xy +... = ...). (Leda bych přidal ještě rovnici typu x² + y² = -1, která nemá = opět v reálném oboru - žádné řešení.
A jak by jste postupovali v případě složitějších rovnic ve tvarz:
(něco) x+- (něco) y +-(něco) xy = výsledek
Přesně jak píše hm, pokud tím "pořád stejně" myslí metodu, kdy vypočtu jednu z neznámých pomocí druhé a dosadím; jen je třeba (obecně) v závislosti na postupu výpočtu dávat pozor, abychom nedělili nulou. V případě, že by toto nebezpečí hrozilo, je třeba provést diskuzi a případ, kdy ve jmenovateli bude nula, vyšetřit samostatně.
Na druhou stranu, vždy (krom singulárních případů, které ale snadno vyřešíš jinak) lze vyloučit člen s xz a dostaneš aspoň jednu lineární rovnici, ve které jednu z neznámých z té druhé vypočteš bez rizika. Navíc, dáš-li si s tím práci, můžeš naopak vypočítat xy a použít i ten trikový postup přes binomickou větu; možná ale, že v obecném případě to bude složitější než přímočaré dosaování.
doplněno 01.06.11 23:06:Tedy přesněji: můžeš NĚKDY vypočítat xy; v obecném případě to může byt složitější než dosazování (ačkoli to možná ani ne) nebo to vůbec nepůjde.
Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.
Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.